Devoir surveillé n°5 (modèle 1) — Tronc Commun Sciences
Devoir corrigé de mathématiques — Tronc Commun.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\left] 0\,;+\infty \right[$ par leurs graphes $(C_f)$ et $(C_g)$.
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 0$.
a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$.
b) En déduire l'ensemble de définition de la fonction $h$ définie par $h(x) = \dfrac{1}{f(x)}$.
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) < g(x)$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Justifier que $D_f = \mathbb{R}$, puis vérifier que $f$ est une fonction impaire.
Montrer que $-1 < f(x) < 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
a) Montrer que $\bigl(f(x)\bigr)^2 = 1 - \dfrac{1}{1 + x^2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
b) Étudier la monotonie de $f$ sur $\mathbb{R}$.
On considère les fonctions numériques $f$ et $h$ définies par :
$$f(x) = -2x^2 + 4x - 1 \qquad \text{et} \qquad h(x) = \frac{x}{x - 1}$$
$(C_f)$ et $(C_h)$ sont les courbes représentatives respectives de $f$ et $h$ dans un repère orthonormé.
a) Déterminer l'ensemble de définition de $h$, puis donner son tableau de variations.
b) Quelle est la nature de la courbe $(C_h)$ ? Puis calculer $h\left( \dfrac{3}{2} \right)$, $h(2)$ et $h(3)$.
c) Tracer la courbe $(C_h)$.
a) Donner le tableau de variations de $f$. Quelle est la nature de la courbe $(C_f)$ ?
b) Calculer $f(0)$, $f\left( \dfrac{1}{2} \right)$ et $f\left( \dfrac{1}{4} \right)$, puis tracer la courbe $(C_f)$.
c) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$, avec $m \in \mathbb{R}$.
On considère la fonction numérique $g$ définie par $g(x) = h(|x|)$.
a) Déterminer l'ensemble de définition de $g$, puis étudier sa parité.
b) Vérifier que pour tout $x \in \left[ 0\,;1 \right[ \,\cup\, \left] 1\,;+\infty \right[$, on a $g(x) = h(x)$, puis en déduire le tableau de variations de la fonction $g$.
c) Tracer la courbe $(C_g)$ dans le même repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.