Devoir surveillé n°5 (modèle 2) — Tronc Commun Sciences

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$, représentées par leurs courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ comme l'indique la figure.

1. Déterminer les extremums de la fonction $g$.
2. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$ et l'inéquation $f(x)\leq g(x)$.
3. Dresser le tableau de variations de $g$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par : $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$.

1. Étudier la parité de la fonction $f$.
2. Soient $x$ et $y$ deux éléments distincts de $\mathbb{R}^{*}$.
   Montrer que : $\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{xy-1}{xy}$.
3. Déterminer la monotonie de $f$ sur les intervalles $\left]0\,;\,1\right]$ et $\left[1\,;\,+\infty\right[$.
4. Déduire le tableau de variations de $f$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par : $f(x)=x^{2}-2x+1$ et $g(x)=\dfrac{3x-3}{x+1}$.

1. Déterminer $D_{g}$ et vérifier que pour tout $x$ de $D_{g}$ : $g(x)=3-\dfrac{6}{x+1}$.
2. Donner les tableaux de variations de $f$ et $g$.
3. Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ et $(C_g)$ avec les axes du repère.
4. Tracer les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ dans le même repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
5. Déterminer algébriquement les points d'intersection de $(C_f)$ et $(C_g)$.
6. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\geq g(x)$.
7. Soit $h$ la fonction définie par : $h(x)=\dfrac{3|x|-3}{|x|+1}$.
   1. Déterminer $D_{h}$.
   2. Montrer que la fonction $h$ est paire.
   3. Vérifier que $h(x)=g(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{+}$.
   4. Tracer la courbe $(C_h)$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
8. Soit $k$ la fonction définie par : $k(x)=|f(x)|$.
   1. Tracer la courbe $(C_k)$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
   2. Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $k(x)=m$.