Devoir surveillé n°6 (modèle 1) — Tronc Commun Sciences

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs tels que $\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \left\| \overrightarrow{v} \right\| = 2\sqrt{2}$ et $\left\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \right\| = 2$.

1. Montrer que $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6$.
2. Montrer que $\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{28}$.
3. On pose $\overrightarrow{u'} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v'} = 5\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$.
   1. Montrer que $\overrightarrow{u'}$ et $\overrightarrow{v'}$ sont orthogonaux.
   2. Calculer $\left\| \overrightarrow{u'} \right\|$.

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 6$ ; $AC = 5$ et $BC = 7$.

1. Calculer $\cos(\widehat{BAC})$ puis calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
2. En déduire que $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 30$.
3. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur $(BC)$.
   Calculer la distance $BH$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme et $I$, $J$ deux points tels que :

1. Faire une figure.
2. 1. Montrer que la droite $(BJ)$ est l'image de la droite $(AI)$ par la translation $t_{\overrightarrow{AB}}$.
   2. En déduire que $(AI)$ est parallèle à $(BJ)$.
3. Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ et de rapport $k$ qui transforme le point $B$ en $C$.
   1. Montrer que $h((AB)) = (CD)$.
   2. Montrer que $k = -2$.
4. Soit le point $K$ tel que $\overrightarrow{KI} = 2\overrightarrow{AB}$.
   1. Montrer que $h(J) = K$.
   2. Montrer que $AI = \dfrac{1}{2}CK$.

Soit $ABCD$ un tétraèdre.
Soient $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ un point de $[AC]$ tel que $AJ = \dfrac{2}{3}AC$.

1. Vérifier que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
2. Montrer que la droite $(IJ)$ n'est pas contenue dans le plan $(BCD)$.
3. Montrer que la droite $(IJ)$ est sécante au plan $(BCD)$ et construire le point d'intersection.