Devoir surveillé n°4 — Trimestre 2

Les vecteurs et la translation

On considère un parallélogramme $ABCD$.

1. Citer deux vecteurs égaux au vecteur $\overrightarrow{AB}$ parmi les vecteurs liés aux sommets du parallélogramme.
2. Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ? Justifier.
3. Soit $E$ l'image du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
   Montrer que $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB}$, puis que le quadrilatère $ABED$ est un parallélogramme.
4. Montrer que $C$ est aussi l'image de $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
   En déduire que les points $C$ et $E$ sont confondus.

La symétrie

Soit un segment $[AB]$ de milieu $I$.

1. Construire le point $A'$ symétrique de $A$ par rapport au point $I$ (symétrie centrale). Que représente alors le point $I$ pour le segment $[AA']$ ?
2. On donne maintenant une droite $(d)$ et un point $M$ n'appartenant pas à $(d)$. Décrire la construction du point $M'$ symétrique de $M$ par rapport à la droite $(d)$ (symétrie axiale).
3. Quelle est la nature du triangle obtenu si l'on relie un point $P$ de $(d)$ aux points $M$ et $M'$ ? Justifier en utilisant une propriété de la médiatrice.

Angles et parallélisme

Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante $(\Delta)$.
On note $\widehat{a}$ et $\widehat{b}$ deux angles alternes-internes formés, et on donne $\widehat{a} = 65^\circ$.

1. On suppose que $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
   Donner la mesure de l'angle $\widehat{b}$.
   Justifier la propriété utilisée.
2. On note $\widehat{c}$ l'angle correspondant à $\widehat{a}$.
   Donner la mesure de $\widehat{c}$ et justifier.
3. Réciproquement, on mesure deux angles alternes-internes formés par $(d_1)$, $(d_2)$ et une sécante et on trouve $70^\circ$ et $70^\circ$. Que peut-on conclure pour les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ? Énoncer la propriété utilisée.