Devoir surveillé n°5 — Trimestre 3

Théorème de Thalès

Sur la figure, les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés, avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$.
On donne : $AM = 3$ cm, $AB = 9$ cm, $AN = 4$ cm et $BC = 12$ cm.

1. Énoncer le théorème de Thalès dans cette configuration.
2. Calculer la longueur $AC$.
3. Calculer la longueur $MN$.

Droite des milieux

Soit $ABC$ un triangle.
On note $I$ le milieu du côté $[AB]$ et $J$ le milieu du côté $[AC]$.
On donne $BC = 10$ cm.

1. Énoncer la propriété de la droite des milieux concernant la droite $(IJ)$ et la droite $(BC)$.
2. Calculer la longueur $IJ$.
3. On note $K$ le milieu de $[BC]$.
   Montrer que le quadrilatère $IBKJ$ est un parallélogramme.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ cm et $AC = 3$ cm.

1. Calculer la longueur de l'hypoténuse $BC$ (théorème de Pythagore).
2. Donner les expressions de $\cos(\widehat{ABC})$, $\sin(\widehat{ABC})$ et $\tan(\widehat{ABC})$ en fonction des côtés, puis calculer leurs valeurs.
3. En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{ABC}$ (on donne $\tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ$).