Examen blanc n°1 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Suites numériques (placement financier)

Un épargnant place un capital initial de $5000$ dirhams dans un compte rémunéré.
On note $u_n$ le capital disponible (en dirhams) au bout de $n$ années.
On a $u_0 = 5000$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1} = 1{,}04\, u_n + 200$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On pose $v_n = u_n + 5000$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ et déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.
5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geq 12000$ dirhams.

Exercice 2 : Étude d'une fonction logarithme (coût moyen)

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :

$$f(x) = x - 2 + \ln x$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;\,+\infty[$, et vérifier que $1 \lt \alpha \lt 2$.
4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $1$.

Exercice 3 : Fonction exponentielle, bénéfice et intégrale

Une entreprise modélise son bénéfice marginal (en milliers de dirhams) en fonction de la quantité $x$ (en tonnes, $x \geq 0$) par la fonction :

$$g(x) = (3 - x)\,e^{-x}$$

1. Calculer $g'(x)$ et étudier le signe de $g'(x)$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
2. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $g$ atteint son maximum.
3. Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x) = (x - 2)\,e^{-x}$ est une primitive de $g$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
4. Calculer l'intégrale $\displaystyle I = \int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$ et interpréter le résultat.