Examen blanc n°2 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Dénombrement et probabilités

Une entreprise dispose d'une équipe de $10$ employés : $6$ femmes et $4$ hommes.
On choisit au hasard un comité de $3$ employés (tous les choix sont équiprobables, sans ordre).

1. Déterminer le nombre total de comités possibles.
2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « le comité est composé uniquement de femmes ».
3. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « le comité comporte exactement un homme ».
4. Calculer la probabilité de l'événement $C$ : « le comité comporte au moins un homme ».

Exercice 2 : Limites, continuité et étude d'une fonction rationnelle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par :

$$f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 4}{x - 1}$$

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe ?
2. Montrer que pour tout $x \neq 1$, on a $f(x) = x - 2 + \dfrac{2}{x - 1}$.
3. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
4. Montrer que la droite $(D) : y = x - 2$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Exercice 3 : Fonction logarithme et calcul intégral

Soit $h$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :

$$h(x) = \dfrac{1}{x} + 2x$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité $1$ cm.

1. Calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
2. En déduire que $h$ admet un minimum sur $]0\,;\,+\infty[$ et préciser sa valeur.
3. Déterminer une primitive $H$ de $h$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
4. Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm², du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$.