Examen blanc n°3 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Probabilités et dénombrement (5 points)

Une entreprise de distribution dispose d'un stock de $12$ articles dont $4$ sont défectueux. Un contrôleur prélève au hasard et simultanément $3$ articles parmi les $12$.

1. Calculer le nombre total de tirages possibles.
2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « aucun article prélevé n'est défectueux ».
3. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « exactement un article prélevé est défectueux ».
4. Calculer la probabilité de l'événement $C$ : « au moins un article prélevé est défectueux ».

Exercice 2 : Suites numériques et intérêts composés (5 points)

Un épargnant place un capital de $8000$ dirhams sur un compte rémunéré à un taux d'intérêt composé de $4\%$ par an.
On note $U_n$ le capital disponible au bout de $n$ années, avec $U_0=8000$.

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1}=1{,}04\,U_n$.
2. En déduire la nature de la suite $(U_n)$ et exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer le capital disponible au bout de $5$ ans (arrondir au dirham).
4. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel le capital dépasse $12000$ dirhams.

Exercice 3 : Fonction logarithme et étude de coût (5 points)

Le coût total de production, en milliers de dirhams, de $x$ centaines d'unités d'un produit est modélisé par la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :

$f(x)=x-2\ln(x)+3$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $]0\,;\,+\infty[$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ et déterminer le coût minimal.
4. Calculer $\displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{2}{x}\,dx$.

Exercice 4 : Fonction exponentielle (5 points)

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=(x-1)e^{x}-2$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)$.
2. Montrer que $g'(x)=x\,e^{x}$ et étudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations de $g$.
4. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $1 \lt \alpha \lt 2$.