Examen blanc n°5 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Étude d'une fonction de coût (7 points)

Une entreprise produit un bien en quantité $x$ (en milliers d'unités), avec $x \gt 0$. Le coût total de production, en milliers de dirhams, est donné par la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :

$$f(x) = x^2 - 4x + 4\ln(x) + 5$$

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Montrer que pour tout $x \gt 0$ : $\;f'(x) = \dfrac{2x^2 - 4x + 4}{x}$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
4. Le coût marginal est $f'(x)$. Pour quelle quantité $x$ le coût marginal est-il minimal ? Justifier.

Exercice 2 : Suite et placement financier (6 points)

Un épargnant place un capital de $8000$ dirhams sur un compte à intérêts composés au taux annuel de $4\%$.
On note $C_n$ le capital disponible après $n$ années, avec $C_0 = 8000$.

1. Justifier que pour tout entier $n$ : $\;C_{n+1} = 1{,}04 \times C_n$. Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ?
2. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer le capital disponible après $5$ ans (arrondir au dirham).
4. Déterminer, à l'aide des logarithmes, le plus petit entier $n$ tel que $C_n \geq 12000$.

Exercice 3 : Probabilités (7 points)

Dans une entreprise, $60\%$ des employés travaillent au service commercial et le reste au service technique. Parmi les commerciaux, $30\%$ parlent anglais ; parmi les techniciens, $50\%$ parlent anglais.
On choisit un employé au hasard.
On note $C$ : « être commercial », $T$ : « être technicien » et $A$ : « parler anglais ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité $P(C \cap A)$.
3. Montrer que $P(A) = 0{,}38$.
4. Un employé choisi parle anglais. Quelle est la probabilité qu'il soit technicien ? (arrondir à $10^{-3}$)