Examen blanc n°6 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Fonction exponentielle et bénéfice (7 points)

Le bénéfice mensuel (en milliers de dirhams) d'une entreprise en fonction du nombre $x$ de centaines d'articles vendus ($x \geq 0$) est modélisé par :

$$f(x) = (10 - x)\,e^{0{,}5x} - 10$$

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{0{,}5x} = +\infty$.)
2. Montrer que $f'(x) = (4 - 0{,}5x)\,e^{0{,}5x}$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
4. En déduire le nombre d'articles à vendre pour maximiser le bénéfice, et la valeur de ce bénéfice maximal (arrondir au millier de dirhams).

Exercice 2 : Dénombrement (6 points)

Un comité d'entreprise compte $7$ femmes et $5$ hommes.
On doit former une délégation de $4$ personnes.

1. De combien de façons peut-on former cette délégation ?
2. Combien de délégations comportent exactement $2$ femmes et $2$ hommes ?
3. Combien de délégations comportent au moins un homme ?
4. On désigne ensuite, parmi les $4$ membres de la délégation, un président puis un trésorier (postes distincts). Combien de choix possibles à partir d'une délégation fixée ?

Exercice 3 : Calcul intégral et surplus (7 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 1)\,e^{x}$.

1. Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = (2x - 1)\,e^{x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $\displaystyle I = \int_{0}^{1} f(x)\,dx$.
3. On considère la fonction de demande $d(x) = 12 - 3x$ sur $[0\,;\,3]$, où $x$ est la quantité.
   Calculer $\displaystyle \int_{0}^{2} d(x)\,dx$ et interpréter ce résultat comme une aire.