Examen blanc n°7 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Logarithme et chiffre d'affaires (6 points)

Le chiffre d'affaires (en millions de dirhams) d'une start-up $t$ années après sa création est modélisé sur $[1\,;\,+\infty[$ par :

$$f(t) = 2\ln(t) - \frac{t}{2} + 3$$

1. Calculer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)$. (On pourra factoriser par $t$.)
2. Montrer que $f'(t) = \dfrac{4 - t}{2t}$ pour $t \geq 1$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1\,;\,+\infty[$.
4. En quelle année le chiffre d'affaires est-il maximal et combien vaut-il (arrondir à $10^{-2}$) ?

Exercice 2 : Suite arithmétique et amortissement (7 points)

Une entreprise achète une machine pour $50000$ dirhams. Elle pratique un amortissement linéaire : la valeur comptable diminue de $6000$ dirhams chaque année.
On note $V_n$ la valeur de la machine après $n$ années, avec $V_0 = 50000$.

1. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$. Quelle est la nature de la suite $(V_n)$ ?
2. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$.
3. Au bout de combien d'années la valeur comptable devient-elle inférieure ou égale à $20000$ dirhams ?
4. Calculer la somme $V_0 + V_1 + \cdots + V_5$ (les six premières valeurs annuelles).

Exercice 3 : Probabilités et continuité (7 points)

Partie A. Une urne contient $5$ jetons verts et $3$ jetons rouges.
On tire successivement et sans remise $2$ jetons.

1. Calculer la probabilité d'obtenir deux jetons verts.
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement un jeton rouge.

Partie B. Soit la fonction $g$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $g(x) = x^3 - 3x - 1$.

1. Calculer $g(0)$ et $g(2)$.
2. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;\,2]$ (on justifiera par continuité et monotonie).