Examen blanc n°8 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Étude d'une fonction rationnelle (7 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]1\,;\,+\infty[$ par :

$$f(x) = \frac{2x^2 - 3x}{x - 1}$$

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Montrer que pour tout $x \gt 1$ : $\;f'(x) = \dfrac{2x^2 - 4x + 3}{(x - 1)^2}$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]1\,;\,+\infty[$.
4. Vérifier que $f(x) = 2x - 1 - \dfrac{1}{x - 1}$ et en déduire que la droite $(D) : y = 2x - 1$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$.

Exercice 2 : Annuités et suite géométrique (6 points)

Pour financer un projet, une personne verse chaque début d'année une somme constante.
On considère plus simplement le placement suivant : la première année elle place $2000$ dirhams, puis chaque année elle augmente son versement de $10\%$.
On note $u_n$ le versement de l'année $n$, avec $u_1 = 2000$.

1. Justifier que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer le versement de la 4ᵉ année (arrondir au dirham).
4. Calculer la somme totale versée durant les $6$ premières années : $S = u_1 + u_2 + \cdots + u_6$ (arrondir au dirham).

Exercice 3 : Probabilités conditionnelles (7 points)

Une usine fabrique des pièces sur deux machines $M_1$ et $M_2$. La machine $M_1$ produit $70\%$ des pièces et $M_2$ produit le reste. Parmi les pièces de $M_1$, $4\%$ sont défectueuses ; parmi celles de $M_2$, $6\%$ sont défectueuses.
On prélève une pièce au hasard.
On note $D$ : « la pièce est défectueuse ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité qu'une pièce provienne de $M_1$ et soit défectueuse.
3. Montrer que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est $P(D) = 0{,}046$.
4. Une pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine $M_2$ ? (arrondir à $10^{-3}$)