Examen blanc n°1 — 1ʳᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Suites numériques et placement (7 points)

Une entreprise place un capital.
On modélise l'évolution de son épargne (en milliers de dirhams) par la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 3$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On pose, pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 15$.
   Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat.

Exercice 2 : Étude d'une fonction de coût (8 points)

Le coût total de production de $x$ centaines d'articles est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,6]$ par : $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 4$.

1. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[0\,;\,6]$.
2. Vérifier que $f'(x) = 3(x-2)^2$ et en déduire le signe de $f'(x)$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,6]$.
4. Calculer $f(0)$ et $f(6)$.
5. Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 2$.

Exercice 3 : Produit scalaire et trigonométrie (5 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$.
On considère les points $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$ et $C(2\,;\,5)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
3. Calculer les normes $\lVert \overrightarrow{AB} \rVert$ et $\lVert \overrightarrow{AC} \rVert$.
4. En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ au degré près.