Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2009 (Normale)

Exercice 1 (Géométrie dans l'espace)

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A(-2,2,8)$, $B(6,6,0)$, $C(2,-1,0)$ et $D(0,1,-1)$ et $(S)$ l'ensemble des points $M$ de l'espace qui vérifient $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

1) Déterminer le triplet de coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}$ et en déduire que $x+2y+2z=0$ est une équation cartésienne du plan $(OCD)$.

2) Vérifier que $(S)$ est la sphère de centre $\Omega(2,4,4)$ et de rayon $6$.

3) a) Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(OCD)$.

b) En déduire que le plan $(OCD)$ est tangent à la sphère $(S)$.

c) Vérifier que $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ puis en déduire que le point $O$ est le point de contact de la sphère $(S)$ et du plan $(OCD)$.

Exercice 2 (Nombres complexes)

On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $a=2-2i$, $b=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$ et $c=1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i$.

1) Écrire sous forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes $a$ et $b$.

2) On considère la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{5\pi}{6}$.

a) Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan complexe et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$.
Montrer que : $z'=bz$.

b) Vérifier que le point $C$ est l'image du point $A$ par la rotation $R$.

3) Montrer que : $\arg(c)\equiv\arg a+\arg b\;[2\pi]$ puis en déduire un argument du nombre complexe $c$.

Exercice 3 (Probabilités)

Une urne contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 5 boules rouges (les boules sont indiscernables au toucher).
On tire simultanément et au hasard trois boules de l'urne.

1) On considère les deux événements suivants :

$A$ : « Tirer trois boules de même couleur » ;
$B$ : « Tirer trois boules de couleurs différentes deux à deux ».

Montrer que : $P(A)=\dfrac{3}{44}$ et $P(B)=\dfrac{3}{11}$.

2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de trois boules associe le nombre de couleurs que portent ces boules.

a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.

b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et calculer l'espérance mathématique $E(X)$.

Exercice 4 (Calcul intégral)

On pose : $J=\displaystyle\int_{-2}^{-1}\ln(2x+6)\,dx$ et $I=\displaystyle\int_{-2}^{-1}\dfrac{x}{x+3}\,dx$.

1) a) Vérifier que : $\dfrac{x}{x+3}=1-\dfrac{3}{x+3}$ pour tout réel $x$ tel que $x\neq-3$.

b) Montrer que : $I=1-3\ln2$.

2) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $J=-I$.

Problème (Étude de fonction et suite)

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par :

$f(x)=2\ln\!\left(e^{x}-2\sqrt{e^{x}}+2\right).$

$(C)$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

I- 1) Vérifier que : $e^{x}-2\sqrt{e^{x}}+2=\left(\sqrt{e^{x}}-1\right)^{2}+1$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire que l'ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathbb{R}$ et que :

$(\forall x\in\mathbb{R})\quad 1-\dfrac{2}{\sqrt{e^{x}}}+\dfrac{2}{e^{x}}\gt0.$

2) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ puis montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ln4$ et interpréter le résultat géométriquement.

3) a) Montrer que : $f'(x)=\dfrac{2\sqrt{e^{x}}\left(\sqrt{e^{x}}-1\right)}{\left(\sqrt{e^{x}}-1\right)^{2}+1}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ et vérifier que $f'(0)=0$.

b) Étudier le signe de $\sqrt{e^{x}}-1$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0,+\infty[$ et décroissante sur l'intervalle $]-\infty,0]$.

4) a) Montrer que : $\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)=2x+2\ln\!\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{e^{x}}}+\dfrac{2}{e^{x}}\right)$.

b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=2x$ est une asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

5) a) Vérifier que : $e^{x}-3\sqrt{e^{x}}+2=\left(\sqrt{e^{x}}-1\right)\left(\sqrt{e^{x}}-2\right)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

b) Étudier le signe de $\sqrt{e^{x}}-2$ et de $\left(\sqrt{e^{x}}-1\right)\left(\sqrt{e^{x}}-2\right)$ sur $\mathbb{R}$.

c) En déduire que : $e^{x}-2\sqrt{e^{x}}+2\le e^{\frac{x}{2}}$ pour tout $x\in[0,\ln4]$.

d) Montrer que : $f(x)\le x$ pour tout $x\in[0,\ln4]$.

6) Tracer la courbe $(C)$.

(On admettra que la courbe $(C)$ possède deux points d'inflexion dont l'abscisse de l'un est inférieure à $-1$ et l'abscisse de l'autre est supérieure à $2$, la détermination de ces deux points n'est pas demandée ; on prendra $\ln4\approx1{,}4$.)

II- Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par : $u_{0}=1$ et $u_{n+1}=f(u_{n})$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
On pourra utiliser les résultats de l'étude de la fonction $f$.

1) Montrer que : $0\le u_{n}\le\ln4$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

2) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

3) En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente et calculer sa limite.