Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2009 (Rattrapage)

Exercice 1

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le point $A(2,2,-1)$, le plan $(P)$ d'équation $2x+y+2z-13=0$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1,0,1)$ et de rayon $3$.

1. a) Montrer que $x^2+y^2+z^2-2x-2z-7=0$ est une équation cartésienne de la sphère $(S)$ et vérifier que $A$ appartient à $(S)$.

b) Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(P)$ puis en déduire que le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S)$.

2. Soit $(D)$ la droite passant par le point $A$ et perpendiculaire au plan $(P)$.

a) Démontrer que $\vec{u}(2,1,2)$ est un vecteur directeur de la droite $(D)$ et que $(6,-6,-3)$ est le triplet de coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}$.

b) Calculer $\dfrac{\lVert\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}$ puis en déduire que la droite $(D)$ est tangente à la sphère $(S)$ en $A$.

Exercice 2

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-6z+25=0$.

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $a=3+4i$, $b=3-4i$, $c=2+3i$ et $d=5+6i$.

a) Calculer $\dfrac{d-c}{a-c}$ puis en déduire que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.

b) Montrer que le nombre $p=3+8i$ est l'affixe du point $P$ image du point $A$ par l'homothétie $h$ de centre $B$ et de rapport $\dfrac{3}{2}$.

c) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe $\dfrac{d-p}{a-p}$ puis en déduire que $\dfrac{\pi}{4}$ est une mesure de l'angle $\left(\widehat{\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PD}}\right)$ et que $PA=\sqrt{2}\,PD$.

Exercice 3

Une urne contient sept boules noires et deux boules blanches. (Les boules sont indiscernables au toucher.)

On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules blanches restantes dans l'urne après le tirage des deux boules.

1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.

2. Montrer que $p(X=0)=\dfrac{1}{36}$ et $p(X=1)=\dfrac{7}{18}$.

3. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et calculer l'espérance mathématique $E(X)$.

Exercice 4

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{1+4u_n}{7-2u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1. Vérifier que $1-u_{n+1}=\dfrac{6(1-u_n)}{5+2(1-u_n)}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ et montrer par récurrence que $1-u_n\gt 0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

2. On pose $v_n=\dfrac{2u_n-1}{u_n-1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{5}{6}$, puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

b) Montrer que $u_n=\dfrac{\left(\dfrac{5}{6}\right)^n-1}{\left(\dfrac{5}{6}\right)^n-2}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 5

1. Déterminer les fonctions primitives de la fonction $x\mapsto 2x(x^2-1)^{2009}$ sur $\mathbb{R}$ et vérifier que : $\displaystyle\int_1^{\sqrt{2}}2x(x^2-1)^{2009}\,dx=\dfrac{1}{2010}$.

2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\displaystyle\int_0^2(2x+1)\ln(x+1)\,dx=6\ln 3-2$.

Problème

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x\left(\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right)$, et soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. a) Vérifier que $f(x)=x\left(\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\right)$ pour tout réel $x$.

b) Montrer que la fonction $f$ est paire et que $f(x)-x=\dfrac{-2xe^{-2x}}{1+e^{-2x}}$ pour tout réel $x$.

c) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2xe^{-2x}}{1+e^{-2x}}=0$ puis en déduire que la droite $(D)$ d'équation $y=x$ est une asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

2. Montrer que la courbe $(C)$ est au-dessous de la droite $(D)$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$.

3. a) Montrer que : $f'(x)=\dfrac{e^{4x}-1+4xe^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$ pour tout réel $x$ et vérifier que $f'(0)=0$.

b) Montrer que $e^{4x}-1\geq 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,+\infty[$ puis en déduire que $e^{4x}-1+4xe^{2x}\geq 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,+\infty[$.

c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$.

4. Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$. (On admettra que la courbe possède deux points d'inflexion que l'on ne demande pas de préciser.)