Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2010 (Normale)

Exercice 1 (4 points)

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A(-1,0,3)$, $B(3,0,0)$ et $C(7,1,-3)$ et la sphère $(S)$ d'équation : $x^2+y^2+z^2-6x-2y-15=0$.

1) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=3\vec{i}+4\vec{k}$ et en déduire que $3x+4z-9=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2) Montrer que le centre de la sphère $(S)$ est le point $\Omega(3,1,0)$ et que son rayon est $5$.

3) Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

a) Démontrer que $\begin{cases}x=3+3t\\y=1\\z=4t\end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$.

b) Démontrer que la droite $(\Delta)$ coupe la sphère $(S)$ en deux points $E(6,1,4)$ et $F(0,1,-4)$.

Exercice 2 (3 points)

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-6z+10=0$.

2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=3-i$, $b=3+i$ et $c=7-3i$.
Soit $z'$ l'affixe d'un point $M'$ du plan et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

a) Montrer que : $z'=iz+2-4i$.

b) Vérifier que l'affixe du point $C'$ image du point $C$ par la rotation $R$ est $c'=5+3i$.

c) Montrer que : $\dfrac{c'-b}{c-b}=\dfrac{1}{2}i$ puis en déduire que le triangle $BCC'$ est rectangle en $B$ et que $BC=2BC'$.

Exercice 3 (3 points)

Une urne contient dix boules : cinq boules blanches, trois boules rouges et deux boules noires (les boules sont indiscernables au toucher).
On tire, au hasard et simultanément, quatre boules de l'urne.

1) On considère les deux événements : $A$ : « tirer une seule boule rouge » et $B$ : « tirer au moins une boule blanche ».
Montrer que : $P(A)=\dfrac{1}{2}$ et $P(B)=\dfrac{41}{42}$.

2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules rouges tirées.

a) Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont : $0$, $1$, $2$ et $3$.

b) Montrer que $P(X=2)=\dfrac{3}{10}$ et $P(X=0)=\dfrac{1}{6}$.

c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Exercice 4 (3 points)

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{2u_n}\end{cases}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) Montrer, par récurrence, que : $u_n\gt 1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

2) On considère la suite numérique $(v_n)$ définie par : $v_n=\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et en déduire que $(\forall n\in\mathbb{N})\;v_n=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

b) Montrer que $u_n=\dfrac{v_n-1}{2v_n-1}$ et en déduire : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.

3) Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n$, sachant que $(w_n)$ est la suite numérique définie par : $w_n=\ln(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

Problème (7 points)

Partie I. On considère la fonction numérique $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=1+4xe^{2x}$.

1) Montrer que : $g'(x)=4(2x+1)e^{2x}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

2) Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ et décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right]$.

3) a) Montrer que $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1-\dfrac{2}{e}$ puis vérifier que $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)\gt 0$.

b) Déduire que $g(x)\gt 0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

Partie II. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x-1)e^{2x}+x+1$.
Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (avec $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2\,\text{cm}$).

1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ puis montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{u\to-\infty}ue^{u}=0$).

2) Montrer que $f'(x)=g(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, puis en déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3) a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et en déduire que la courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique celle de l'axe des ordonnées.

b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[f(x)-(x+1)]$ et en déduire que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $-\infty$.

c) Déterminer le couple de coordonnées du point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et la courbe $(C)$ puis montrer que la courbe $(C)$ est en-dessous de la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[$ et qu'elle est au-dessus de la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

4) a) Montrer que $y=x$ est une équation de la droite $(T)$ tangente à la courbe $(C)$ au point $O$.

b) Montrer que la courbe $(C)$ possède un point d'inflexion d'abscisse $-\dfrac{1}{2}$ (la détermination de l'ordonnée du point d'inflexion n'est pas demandée).

5) Construire, dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, les deux droites $(\Delta)$ et $(T)$ et la courbe $(C)$.

6) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\displaystyle\int_0^{1/2}(2x-1)e^{2x}\,\mathrm{d}x=1-\dfrac{e}{2}$.

b) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, la droite $(T)$ tangente à la courbe $(C)$, et les deux droites d'équations $x=0$ et $x=\dfrac{1}{2}$ est : $(6-2e)\,\text{cm}^2$.