Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2010 (Rattrapage)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Expérimentales, session de rattrapage 2010. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1
On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A(0,-2,0)$, $B(1,1,-4)$ et $C(0,1,-4)$ et la sphère $(S)$ d'équation : $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-11=0$.
1) Montrer que le centre de la sphère $(S)$ est le point $\Omega(1,2,3)$ et son rayon est $5$.
2) a) Montrer que : $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=4\vec{j}+3\vec{k}$ puis en déduire que $4y+3z+8=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
b) Calculer $d(\Omega,(ABC))$ puis en déduire que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$.
3) Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
a) Démontrer que $\begin{cases} x=1 \\ y=2+4t \\ z=3+3t \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
b) Démontrer que le triplet des coordonnées de $H$ point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et le plan $(ABC)$ est $(1,-2,0)$.
c) Vérifier que $H$ est le point de contact du plan $(ABC)$ et la sphère $(S)$.
Exercice 2
1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-8\sqrt{3}\,z+64=0$.
2) On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $a=8i$, $b=4\sqrt{3}-4i$ et $c=2(4\sqrt{3}+4i)$.
Soient $z$ l'affixe du point $M$ et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{4\pi}{3}$.
a) Montrer que $z'=\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z$.
b) Vérifier que le point $B$ est l'image du point $A$ par la rotation $R$.
c) Montrer que : $\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ puis écrire le nombre $\dfrac{a-b}{c-b}$ sous forme trigonométrique.
d) En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral.
Exercice 3
Une urne contient huit boules portant les nombres suivants : $①,①,①,②,②,②,③,③$ (les boules sont indiscernables au toucher).
On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.
1) Soient $A$ et $B$ deux événements tels que :
$A$ : « tirer deux boules portant le nombre $2$ »
$B$ : « tirer deux boules dont une au moins porte le nombre $3$ »
Montrer que $P(A)=\dfrac{3}{28}$ et que $P(B)=\dfrac{13}{28}$.
2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules portant un nombre impair.
a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
b) Montrer que $P(X=1)=\dfrac{15}{28}$.
c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Exercice 4
Soit $(u_n)$ une suite numérique définie par : $\begin{cases} u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{21+u_n} \end{cases}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1) Montrer que : $u_n\gt 0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
2) Montrer que : $u_{n+1}\lt \dfrac{1}{7}u_n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
3) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et qu'elle est convergente.
4) a) Montrer par récurrence que : $u_n\lt \left(\dfrac{1}{7}\right)^n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$.
b) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Problème
I) On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $g(x)=x^3-x-2\ln x+3$.
1) a) Vérifier que : $3x^3-x-2=(x-1)(3x^2+3x+2)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$.
b) Montrer que : $g'(x)=\dfrac{(x-1)(3x^2+3x+2)}{x}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$.
2) a) Vérifier que : $\dfrac{3x^2+3x+2}{x}\gt 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$.
b) En déduire que le signe de $g'(x)$ est celui de $x-1$ sur $]0,+\infty[$.
3) a) Montrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $]0,1]$ et croissante sur l'intervalle $[1,+\infty[$.
b) En déduire que $g(x)\gt 0$ pour tout $x\in]0,+\infty[$ (remarquer que : $g(1)\gt 0$).
II) On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $f(x)=x-1+\dfrac{x-1+\ln x}{x^2}$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prendra $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1\text{ cm}$).
1) Montrer que : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$ pour tout $x\in]0,+\infty[$, puis en déduire que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
2) a) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ puis interpréter le résultat géométriquement.
b) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-1+\ln x}{x^2}=0$ et que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ $\;\big($Rappel : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\big)$.
c) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x-1$ est asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $+\infty$.
3) Montrer que $y=3(x-1)$ est une équation de la droite tangente à la courbe $(C)$ au point de coordonnées $(1,0)$.
4) Construire la droite $(\Delta)$ et la courbe $(C)$ (on admettra que la courbe $(C)$ possède un point d'inflexion unique dont on ne demande pas de déterminer).
5) a) En utilisant l'intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x^2}\,dx=1-\dfrac{e}{2}$ $\;\big($Poser : $u'(x)=\dfrac{1}{x^2}$ et $v(x)=\ln x\big)$.
b) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, la droite $(\Delta)$ et les deux droites d'équations $x=1$ et $x=e$ est égale à $\left(1-\dfrac{1}{e}\right)\text{ cm}^2$.