Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2011 (Normale)

Exercice 1 (3,5 points)

1)a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^2+4x-5=0$.

b) Résoudre dans l'intervalle $]0\,;+\infty[$ l'équation : $\ln\left(x^2+5\right)=\ln(x+2)+\ln(2x)$.

2) Résoudre dans l'intervalle $]0\,;+\infty[$ l'inéquation : $\ln x+\ln(x+1)\geq\ln\left(x^2+1\right)$.

Exercice 2 (3,5 points)

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{5+8u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) Montrer par récurrence que $u_n\gt 0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

2) On pose : $v_n=\dfrac{1}{u_n}+2$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $5$ puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

b) Montrer que $u_n=\dfrac{1}{3\times 5^n-2}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ puis calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 3 (3 points)

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-18z+82=0$.

2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $a=9+i$, $\;b=9-i$, $\;c=11-i$.

a) Montrer que $\dfrac{c-b}{a-b}=-i$ puis en déduire que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $B$.

b) Donner une forme trigonométrique du nombre complexe $4(1-i)$.

c) Montrer que $(c-a)(c-b)=4(1-i)$ puis en déduire que $AC\times BC=4\sqrt{2}$.

d) Soit $z'$ l'affixe d'un point $M'$ du plan, image du point $M$ par la rotation $R$ de centre $B$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{2}$.
Montrer que $z'=-iz+10+8i$ puis vérifier que l'affixe du point $C'$ image du point $C$ par la rotation $R$ est $9-3i$.

Problème (10 points)

Partie A. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=(1-x)e^x-1$.

1)a) Montrer que $g'(x)=-x\,e^x$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

b) Montrer que la fonction $g$ est décroissante sur $[0\,;+\infty[$ et croissante sur $]-\infty\,;0]$, et vérifier que $g(0)=0$.

2) En déduire que $g(x)\leq 0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

Partie B. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2-x)e^x-x$, et soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1\text{ cm}$).

1)a) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

b) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty$ puis en déduire que la courbe $(C)$ admet une branche parabolique au voisinage de $+\infty$ dont on précisera la direction.

2)a) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[f(x)+x]$. (On rappelle que : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0$.)

b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=-x$ est une asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $-\infty$.

3)a) Montrer que : $f'(x)=g(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

b) Interpréter géométriquement le résultat : $f'(0)=0$.

c) Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

4) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ avec $\dfrac{3}{2}\lt\alpha\lt 2$ (on admettra que $e^{\frac{3}{2}}\gt 3$).

5)a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)+x=0$ et en déduire que $(C)$ et $(D)$ se coupent au point $A(2\,;-2)$.

b) Étudier le signe de $f(x)+x$ sur $\mathbb{R}$.

c) En déduire que $(C)$ est au-dessus de $(D)$ sur $]-\infty\,;2]$ et en-dessous de $(D)$ sur $]2\,;+\infty[$.

6)a) Montrer que la courbe $(C)$ possède un point d'inflexion unique de coordonnées $(0\,;2)$.

b) Construire la droite $(D)$ et la courbe $(C)$ dans le même repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$.

7)a) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : $\displaystyle\int_{-1}^{0}(2-x)e^x\,dx=3-\dfrac{4}{e}$.

b) En déduire, en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, la droite $(D)$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0$.