Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2011 (Rattrapage)

Exercice 1

1) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^2 - 2x - 3 = 0$.

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^x - \dfrac{3}{e^x} - 2 = 0$.

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{x+1} - e^{-x} \geq 0$.

Exercice 2

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 6z + 18 = 0$.

2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les deux points $A$ et $B$ ayant respectivement d'affixes : $a = 3 + 3i$ et $b = 3 - 3i$.

a) Écrire sous la forme trigonométrique les deux nombres $a$ et $b$.

b) Montrer que $b'$, l'affixe du point $B'$ image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}$, est égale à $6$.

c) Montrer que $\dfrac{b - b'}{a - b'} = i$, puis en déduire que le triangle $AB'B$ est isocèle et rectangle en $B'$.

d) Déduire d'après ce qui précède que le quadrilatère $OAB'B$ est un carré.

Exercice 3

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{6u_n}{1 + 15u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) a) Vérifier que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ : $u_{n+1} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{u_n - \frac{1}{3}}{15u_n + 1}$.

b) Montrer par récurrence que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ : $u_n \gt \dfrac{1}{3}$.

2) On considère la suite numérique $(v_n)$ définie par, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ : $v_n = 1 - \dfrac{1}{3u_n}$.
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, sa raison $\dfrac{1}{6}$, puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.

3) Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ : $u_n = \dfrac{1}{3 - 2\left(\frac{1}{6}\right)^n}$, puis déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.

Problème

Partie I : On considère la fonction numérique $g$ définie sur $I = \,]0,+\infty[$ par : $g(x) = x - 1 + \ln x$.

1) a) Montrer que pour tout $x \in I$ : $g'(x) = \dfrac{x + 1}{x}$.

b) Montrer que la fonction $g$ est croissante sur $I$.

2) Déduire que $g(x) \geq 0$ sur $[1,+\infty[$ et que $g(x) \leq 0$ sur $]0,1]$ (remarquer que $g(1) = 0$).

Partie II : Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \left( \dfrac{x - 1}{x} \right)\ln x$ et soit $(C)$ la courbe de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (l'unité $1$ cm).

1) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}} f(x) = +\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.

b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ (remarquer que pour tout $x$ de $I$ : $\dfrac{f(x)}{x} = \left( \dfrac{x - 1}{x} \right)\dfrac{\ln x}{x}$).

c) Déduire que la courbe $(C)$ admet une branche parabolique au voisinage de $+\infty$ dont on détermine sa direction.

2) a) Montrer que pour tout $x \in I$ : $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.

b) Déduire que $f$ est croissante sur $[1,+\infty[$ et décroissante sur $]0,1]$.

c) Donner le tableau de variation de $f$ sur $I$.

3) Tracer $(C)$ (On admettra que la courbe $(C)$ possède un seul point d'inflexion d'abscisse compris entre $1.5$ et $2$).

4) a) Montrer que $H : x \longmapsto \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$ est une primitive de $h : x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur l'intervalle $I$.

b) Montrer que $\displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}$.

c) En utilisant l'intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \dfrac{1}{2}$.

5) a) Vérifier que pour tout $x \in I$ : $f(x) = \ln x - \dfrac{\ln x}{x}$.

b) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$ et l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x = e$ est $0.5\ \text{cm}^2$.