Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2012 (Normale)

Exercice 1 (Géométrie dans l'espace) :

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\\vec{i},\\vec{j},\\vec{k})$, les points $A(1,1,-1)$, $B(0,1,-2)$, $C(3,2,1)$ et la sphère $(S)$ d'équation : $x^2+y^2+z^2-2x-2z-1=0$.

1) Montrer que le centre de la sphère $(S)$ est le point $\\Omega(1,0,1)$ et son rayon est $\\sqrt{3}$.

2) a) Montrer que : $\\vec{AB}\\wedge\\vec{AC}=\\vec{i}-\\vec{k}$ puis vérifier que $x-z-2=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

b) Vérifier que $d(\\Omega,(ABC))=\\sqrt{2}$ puis en déduire que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(\\Gamma)$ de rayon $1$.

3) Soit $(\\Delta)$ la droite qui passe par le point $\\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

a) Démontrer que : $\\begin{cases} x=1+t \\\\ y=0 \\\\ z=1-t \\end{cases}\\ (t\\in\\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\\Delta)$.

b) Démontrer que le triplet de coordonnées de $H$ point d'intersection de la droite $(\\Delta)$ et le plan $(ABC)$ est $(2,0,0)$.

c) En déduire le centre du cercle $(\\Gamma)$.

Exercice 2 (Nombres complexes) :

1) Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes $\\mathbb{C}$, l'équation : $z^2-12z+61=0$.

2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\\vec{e_1},\\vec{e_2})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=6-5i$, $b=4-2i$ et $c=2+i$.

a) Calculer $\\dfrac{a-c}{b-c}$ puis en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

b) On considère la translation $T$ de vecteur $\\vec{u}$ tel que l'affixe de $\\vec{u}$ est $1+5i$.
Vérifier que l'affixe du point $D$ image du point $C$ par la translation $T$ est $d=3+6i$.

c) Montrer que $\\dfrac{d-c}{b-c}=-1+i$ et que $\\dfrac{3\\pi}{4}$ est un argument du nombre complexe $-1+i$.

d) En déduire une mesure de l'angle orienté $\\big(\\widehat{\\vec{CB},\\vec{CD}}\\big)$.

Exercice 3 (Probabilités) :

Une urne contient huit jetons indiscernables au toucher : un jeton portant le nombre $0$, cinq jetons portant chacun le nombre $1$ et deux jetons portant chacun le nombre $2$.
On tire au hasard, et simultanément, trois jetons de l'urne.

1) Soit $A$ l'événement : « Les trois jetons tirés portent des nombres différents deux à deux ».
Montrer que $P(A)=\\dfrac{5}{28}$.

2) Soit $B$ l'événement : « La somme des nombres portés par les jetons tirés est égale à $5$ ».
Montrer que $P(B)=\\dfrac{5}{56}$.

3) Soit $C$ l'événement : « La somme des nombres portés par les jetons tirés est égale à $4$ ».
Montrer que $P(C)=\\dfrac{3}{8}$.

Exercice 4 (Suites numériques) :

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0=11$ et $u_{n+1}=\\dfrac{10}{11}u_n+\\dfrac{12}{11}$ pour tout $n$ de $\\mathbb{N}$.

1) Vérifier que : $u_{n+1}-12=\\dfrac{10}{11}(u_n-12)$ pour tout $n$ de $\\mathbb{N}$.

2) a) Montrer, par récurrence, que : $u_n\\lt 12$ pour tout $n$ de $\\mathbb{N}$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3) Soit $(v_n)$ la suite numérique telle que : $v_n=u_n-12$ pour tout $n$ de $\\mathbb{N}$.

a) En utilisant la question 1), montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\\dfrac{10}{11}$, puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

b) Montrer que : $u_n=12-\\left(\\dfrac{10}{11}\\right)^n$ pour tout $n$ de $\\mathbb{N}$ et calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Problème (Étude de fonction) :

Partie I : Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0,+\\infty[$ par : $g(x)=x^2-1+2x^2\\ln x$.

1) Montrer que $x^2-1$ et $2x^2\\ln x$ ont le même signe sur l'intervalle $]0,1]$ puis déduire que $g(x)\\le 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0,1]$.

2) Montrer que $x^2-1$ et $2x^2\\ln x$ ont le même signe sur l'intervalle $[1,+\\infty[$ puis déduire que $g(x)\\ge 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1,+\\infty[$.

Partie II : On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\\infty[$ par : $f(x)=(x^2-1)\\ln x$.
Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\\vec{i},\\vec{j})$ (unité : $3$ cm).

1) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ puis interpréter le résultat géométriquement.

b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$, puis montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ (on pourra écrire $\\dfrac{f(x)}{x}$ sous la forme $\\left(\\dfrac{x^2-1}{x}\\right)\\ln x$) et en déduire que la courbe $(C)$ admet une branche parabolique au voisinage de $+\\infty$ dont on précisera la direction.

2) a) Montrer que $f'(x)=\\dfrac{g(x)}{x}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0,+\\infty[$ et interpréter géométriquement le résultat $f'(1)=0$.

b) Montrer que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]0,1]$ et croissante sur l'intervalle $[1,+\\infty[$.

c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0,+\\infty[$ puis montrer que $f(x)\\ge 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0,+\\infty[$.

3) Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\\vec{i},\\vec{j})$.

4) a) Montrer que $u:x\\mapsto\\dfrac{x^3}{3}-x$ est une primitive de la fonction $x\\mapsto x^2-1$ sur $\\mathbb{R}$.

b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : $\displaystyle\int_1^2(x^2-1)\ln x\,dx=\dfrac{2}{9}(1+3\ln 2)$.

c) Calculer, en $\\text{cm}^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.