Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2013 (Normale)

Exercice 1 (Géométrie dans l'espace) :

On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ les points $A(-1,1,0)$, $B(1,0,1)$ et $\Omega(1,1,-1)$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega$ et de rayon $3$.

1.a) Montrer que $\vec{OA}\wedge\vec{OB}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$ et vérifier que $x+y-z=0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.

1.b) Vérifier que $d(\Omega,(OAB))=\sqrt{3}$ puis montrer que le plan $(OAB)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$ de rayon $\sqrt{6}$.

2. Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(OAB)$.

2.a) Démontrer que $\begin{cases} x=1+t \\ y=1+t \\ z=-1-t \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$.

2.b) Déterminer le triplet de coordonnées du centre du cercle $(\Gamma)$.

Exercice 2 (Nombres complexes) :

On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ tel que :

$a=7+2i,\quad b=4+8i,\quad c=-2+5i.$

1.a) Vérifier que $(1+i)(-3+6i)=-9+3i$ et montrer que $\dfrac{c-a}{b-a}=1+i$.

1.b) En déduire que $AC=AB\sqrt{2}$ et donner une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.

2. Soit $R$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

2.a) Montrer que l'affixe du point $D$ image du point $A$ par la rotation $R$ est $d=10+11i$.

2.b) Calculer $\dfrac{d-c}{b-c}$ et en déduire que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.

Exercice 3 (Probabilités) :

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : cinq boules rouges, trois boules vertes et deux boules blanches.
On tire au hasard, simultanément, quatre boules de l'urne.

1. Soient les deux événements suivants :

$A$ : « Tirer deux boules rouges et deux boules vertes »

$B$ : « Aucune boule blanche parmi les quatre boules tirées »

Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{7}$ et que $p(B)=\dfrac{1}{3}$.

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules blanches tirées.

2.a) Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont $0$, $1$ et $2$.

2.b) Montrer que $p(X=1)=\dfrac{8}{15}$ puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Exercice 4 (Suites numériques) :

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite numérique définie par : $u_1=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{25}{10-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

1. Vérifier que $5-u_{n+1}=\dfrac{5(5-u_n)}{5+(5-u_n)}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ et montrer par récurrence que $5-u_n\gt 0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

2. On considère la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par : $v_n=\dfrac{5}{5-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

2.a) Montrer que $v_{n+1}=\dfrac{10-u_n}{5-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ et vérifier que $v_{n+1}-v_n=1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

2.b) Montrer que $v_n=n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ et en déduire que $u_n=5-\dfrac{5}{n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

2.c) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$.

Problème (Étude de fonction) :

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x-2)^2 e^x$, et soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1\,\text{cm}$).

1.a) Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

1.b) Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ puis en déduire que la courbe $(C)$ admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dont on précisera la direction.

2.a) Vérifier que $f(x)=x^2e^x-4xe^x+4e^x$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

2.b) Montrer que $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ et interpréter ce résultat. (On rappelle que $\lim\limits_{x\to-\infty}x^n e^x=0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.)

3.a) Montrer que $f'(x)=x(x-2)e^x$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

3.b) Montrer que la fonction $f$ est croissante sur chacun des deux intervalles $]-\infty,0]$ et $[2,+\infty[$ et qu'elle est décroissante sur l'intervalle $[0,2]$.

3.c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

4.a) Montrer que $f''(x)=(x^2-2)e^x$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire que la courbe $(C)$ possède deux points d'inflexion (on ne demande pas de déterminer leurs ordonnées).

4.b) Construire $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

5.a) Montrer que la fonction $H:x\mapsto(x-1)e^x$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto xe^x$ sur $\mathbb{R}$ puis calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$.

5.b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx=e-2$.

5.c) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=0$ et $x=1$ est égale à $5(e-2)\,\text{cm}^2$.

5.d) Utiliser la courbe pour donner le nombre de solutions de l'équation $x^2=e^{-x}+4x-4$, $x\in\mathbb{R}$.