Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2013 (Rattrapage)

Exercice 1 (3 points)

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A(0,0,1)$, $B(1,1,1)$ et $C(2,1,2)$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1,-1,0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.

1) Montrer que $x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0$ est une équation cartésienne de la sphère $(S)$ et vérifier que le point $A$ appartient à la sphère $(S)$.

2) a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}$ et en déduire que $x-y-z+1=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

b) Calculer $d(\Omega,(ABC))$ puis en déduire que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ en $A$.

3) Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

a) Démontrer que $\begin{cases} x=1+t\\ y=-1-t\\ z=-t \end{cases}\;(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$.

b) En déduire les triplets des coordonnées des deux points d'intersections de la droite $(\Delta)$ et la sphère $(S)$.

Exercice 2 (3 points)

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-8z+25=0$.

2) On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ tels que :

$a=4+3i,\quad b=4-3i\quad\text{et}\quad c=10+3i$

et la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{BC}$.

a) Montrer que l'affixe du point $D$ image du point $A$ par la translation $T$ est $d=10+9i$.

b) Vérifier que $\dfrac{b-a}{d-a}=-\dfrac{1}{2}(1+i)$ puis écrire le nombre complexe $-\dfrac{1}{2}(1+i)$ sous une forme trigonométrique.

c) Montrer que $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})\equiv\dfrac{5\pi}{4}\;[2\pi]$.

Exercice 3 (3 points)

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{4}{5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) Vérifier que : $u_{n+1}-1=\dfrac{1}{5}(u_n-1)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

2) a) Montrer par récurrence que $u_n\gt 1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3) Soit $(v_n)$ la suite numérique telle que : $v_n=u_n-1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

b) En déduire que $u_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n+1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ puis calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 4 (3 points)

Un sac contient $9$ jetons indiscernables au toucher : quatre jetons blancs, trois jetons noirs et deux jetons verts.
On tire au hasard, simultanément, trois jetons du sac.

1) Soient les deux événements suivants :

$A$ : « Tirer trois jetons de même couleur »
$B$ : « Tirer trois jetons de couleurs différentes deux à deux »

Montrer que $p(A)=\dfrac{5}{84}$ et que $p(B)=\dfrac{2}{7}$.

2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de jetons noirs tirés.

a) Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont : $0$, $1$, $2$ et $3$.

b) Montrer que $p(X=2)=\dfrac{3}{14}$ et $p(X=1)=\dfrac{15}{28}$.

c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Problème (8 points)

Partie I : On considère la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $g(x)=x^2-x-\ln x$.

1) a) Vérifier que $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

b) Montrer que $g'(x)=\dfrac{2x^2-x-1}{x}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$ et en déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $]0,1]$ et qu'elle est croissante sur l'intervalle $[1,+\infty[$.

2) Montrer que $g(x)\geq 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$ (remarquer que $g(1)=0$).

Partie II : On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $f(x)=x^2-1-(\ln x)^2$, et soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité $1$ cm).

1) a) Montrer que $\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ x\gt 0}}f(x)=-\infty$ et donner une interprétation géométrique de ce résultat.

b) Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ (remarquer que $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{1}{x^2}-\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)^2\right)$).

c) En déduire que la courbe $(C)$ admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dont on précisera la direction.

2) a) Montrer que : $f'(x)=2\left(\dfrac{x^2-\ln x}{x}\right)$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$.

b) Vérifier que $\dfrac{g(x)}{x}+1=\dfrac{x^2-\ln x}{x}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$ et en déduire que la fonction $f$ est croissante sur $]0,+\infty[$.

3) a) Montrer que $y=2x-2$ est une équation cartésienne de la droite $(T)$ tangente à la courbe $(C)$ au point $A(1,0)$.

b) Construire, dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, la droite $(T)$ et la courbe $(C)$ (on admettra que $A$ est le seul point d'inflexion de la courbe $(C)$).

4) a) Vérifier que $H:x\mapsto x(\ln x-1)$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto \ln x$ sur $]0,+\infty[$ puis montrer que : $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx=1$.

b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : $\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx=e-2$.

c) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ est égale à $\dfrac{1}{3}(e^3-6e+8)\ \text{cm}^2$.