Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2014 (Normale)

Exercice 1 (4 points)

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A(0,3,1)$, $B(-1,3,0)$ et $C(0,5,0)$ et la sphère $(S)$ d'équation : $x^2+y^2+z^2-4x-5=0$.

1)

a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=2\,\vec{i}-\vec{j}-2\,\vec{k}$, et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b) Montrer que $2x-y-2z+5=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2)

a) Montrer que le centre de la sphère $(S)$ est le point $\Omega(2,0,0)$ et son rayon est $3$.

b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$.

c) Déterminer les coordonnées de $H$ point de contact du plan $(ABC)$ et la sphère $(S)$.

Exercice 2 (3 points)

1) Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, l'équation : $z^2-z\sqrt{2}+2=0$.

2) On considère le nombre complexe : $u=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\,i$.

a) Montrer que le module du nombre $u$ est $\sqrt{2}$, et que $\arg u\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$.

b) En utilisant la forme trigonométrique du nombre $u$, montrer que $u^6$ est un nombre réel.

3) On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$, les deux points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$ tel que : $a=4-4i\sqrt{3}$ et $b=8$.

Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan, et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

a) Exprimer $z'$ en fonction de $z$.

b) Vérifier que le point $B$ est l'image du point $A$ par la rotation $R$, et en déduire que le triangle $OAB$ est équilatéral.

Exercice 3 (3 points)

On considère la suite numérique $(U_n)$ définie par : $U_0=13$ et $U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n+7$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) Montrer, par récurrence, que $U_n\lt 14$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

2) Soit $(V_n)$ la suite numérique telle que : $V_n=14-U_n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$, puis exprimer $V_n$ en fonction de $n$.

b) En déduire que $U_n=14-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, puis calculer la limite de la suite $(U_n)$.

c) Déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle $U_n\gt 13{,}99$.

Exercice 4 (3 points)

Un sac contient neuf jetons, indiscernables au toucher, et portant les nombres : $0,0,0,0,0,1,1,1,1$ (cinq jetons portent le nombre $0$ et quatre jetons portent le nombre $1$).

1) On tire au hasard, simultanément, deux jetons du sac.

Soit l'événement $A$ : « La somme des nombres portés par les deux jetons tirés est égale à $1$ ».

Montrer que $p(A)=\dfrac{5}{9}$.

2) On considère le jeu suivant : Saïd tire au hasard, simultanément, deux jetons du sac, et il est considéré gagnant s'il tire deux jetons portant chacun le nombre $1$.

a) Montrer que la probabilité pour que Saïd gagne est $\dfrac{1}{6}$.

b) Saïd a joué le précédent jeu trois fois (il remet à chaque fois les deux jetons tirés dans le sac). Quelle est la probabilité pour que Saïd gagne exactement deux fois ?

Problème (7 points)

Partie I : Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0,+\infty[$ par : $g(x)=1-\dfrac{1}{x^2}+\ln x$.

1) Montrer que : $g'(x)=\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, et en déduire que la fonction $g$ est croissante sur $]0,+\infty[$.

2) Vérifier que $g(1)=0$, puis en déduire que $g(x)\leqslant 0$ pour tout $x$ de $]0,1]$ et que $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x$ de $[1,+\infty[$.

Partie II : On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $f(x)=(1+\ln x)^2+\dfrac{1}{x^2}$ et soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité $1\,\text{cm}$).

1) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$, et donner une interprétation géométrique du résultat.

2) a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(1+\ln x)^2}{x}=0$ (on pourra poser $t=\sqrt{x}$), puis montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$.

c) Déterminer la branche infinie de $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$.

3) a) Montrer que $f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, puis en déduire que la fonction $f$ est décroissante sur $]0,1]$ et croissante sur $[1,+\infty[$.

b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$, puis en déduire que $f(x)\geqslant 2$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$.

4) Construire $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on admettra que la courbe $(\mathcal{C})$ possède un seul point d'inflexion que l'on ne demande pas de déterminer).

5) On considère les deux intégrales suivantes : $I=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)\,dx$ et $J=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)^2\,dx$.

a) Montrer que $H:x\mapsto x\ln x$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto 1+\ln x$ sur $]0,+\infty[$, puis en déduire que $I=e$.

b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $J=2e-1$.

c) Calculer, en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, et les deux droites d'équations $x=1$ et $x=e$.