Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2014 (Rattrapage)

Exercice 1

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, le point $A(0,0,1)$ ; le plan $(P)$ d'équation $2x+y-2z-7=0$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(0,3,-2)$ et de rayon $3$.

1)a) Montrer que $\begin{cases} x=2t \\ y=t \\ z=1-2t \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ et perpendiculaire au plan $(P)$.

b) Vérifier que $H(2,1,-1)$ est le point d'intersection du plan $(P)$ et de la droite $(\Delta)$.

2) Montrer que $\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}=3(\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k})$ où $\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$.

3) Montrer que la distance du point $\Omega$ à la droite $(\Delta)$ est égale à $3$.

4) En déduire que la droite $(\Delta)$ est tangente à la sphère $(S)$ et vérifier que $H$ est le point de contact de la droite $(\Delta)$ et de la sphère $(S)$.

Exercice 2

On considère la suite numérique $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par : $u_1=5$ et $u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{1+u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

1) Montrer par récurrence que $u_n\gt 2$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

2) On considère la suite numérique $(v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par : $v_n=\dfrac{1+u_n}{u_n-2}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

a) Montrer que $v_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{u_n-2}+1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ et montrer que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est arithmétique de raison $1$.

b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que $u_n=2+\dfrac{3}{n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

c) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.

Exercice 3

Pour déterminer les deux questions d'un examen oral dans un concours de recrutement, le candidat tire au hasard, successivement et sans remise, deux cartes d'une urne contenant $10$ cartes : huit cartes concernant les mathématiques et deux cartes concernant la langue française (on suppose que les cartes sont indiscernables au toucher).

1) On considère l'événement $A$ : « Tirer deux cartes concernant la langue française » et l'événement $B$ : « Tirer deux cartes concernant deux matières différentes ».

Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{45}$ et que $p(B)=\dfrac{16}{45}$.

2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de cartes tirées concernant la langue française.

a) Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont : $0$, $1$ et $2$.

b) Montrer que $p(X=2)=\dfrac{28}{45}$... [Note de transcription : la valeur affichée concerne $p(X=0)$] puis donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Exercice 4

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, l'équation : $z^2-4z+5=0$.

2) On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$, les points $A,B,C,D$ et $\Omega$ d'affixes respectives : $a=2+i$, $b=2-i$, $c=i$, $d=-i$ et $\omega=1$.

a) Montrer que $\dfrac{a-\omega}{b-\omega}=i$.

b) En déduire que le triangle $\Omega AB$ est rectangle et isocèle en $\Omega$.

3) Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

a) Montrer que $z'=iz+1-i$.

b) Vérifier que $R(A)=C$ et $R(D)=B$.

c) Montrer que les points $A,B,C$ et $D$ appartiennent au même cercle dont on déterminera le centre.

Problème

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(xe^x-1)e^x$.
Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ (unité $2$ cm).

1) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ et donner une interprétation géométrique de ce résultat.

2)a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$.

b) En déduire que la courbe $(C)$ admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dont on précisera la direction.

3)a) Montrer que $f'(x)=e^x(e^x-1+2xe^x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis vérifier que $f'(0)=0$.

b) Montrer que $e^x-1\geq 0$ pour tout $x$ de $[0,+\infty[$ et que $e^x-1\leq 0$ pour tout $x$ de $]-\infty,0]$.

c) Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$ et qu'elle est décroissante sur $]-\infty,0]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

4)a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0,+\infty[$ et que $\dfrac{1}{2}\lt\alpha\lt 1$ (on admettra que $\dfrac{1}{2}e^{1/2}\lt 1$).

b) Construire dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ la courbe $(C)$ (on admettra que la courbe $(C)$ possède un seul point d'inflexion qu'on ne demande pas de déterminer).

5) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : $\displaystyle\int_0^{1/2}xe^{2x}\,dx=\dfrac{1}{4}$.

6) Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\dfrac{1}{2}$.