Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2015 (Normale)

Exercice 1 (Géométrie dans l'espace) — 3 points

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les deux points $A(2,1,0)$ et $B(-4,1,0)$.
Soit $(P)$ le plan passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{n}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$.

1) Montrer que $x+y-z-3=0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$.

2) Soit $(S)$ l'ensemble des points $M$ de l'espace qui vérifient la relation $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
Montrer que $(S)$ est la sphère de centre $\Omega(-1,1,0)$ et de rayon $3$.

3) a) Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(P)$ puis en déduire que $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(C)$.

b) Montrer que le centre du cercle est le point $H(0,2,-1)$.

4) Montrer que $\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OB}=\vec{i}+4\vec{j}+8\vec{k}$ et en déduire l'aire du triangle $OHB$.

Exercice 2 (Nombres complexes) — 3 points

I — On considère le nombre complexe $a$ tel que : $a=2+\sqrt{2}+i\sqrt{2}$.

1) Montrer que le module du nombre complexe $a$ est : $2\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

2) Vérifier que $a=2\left(1+\cos\dfrac{\pi}{4}\right)+2i\sin\dfrac{\pi}{4}$.

3) a) En linéarisant $\cos^2\theta$ avec $\theta$ un nombre réel, montrer que $1+\cos 2\theta=2\cos^2\theta$.

b) Montrer que $a=4\cos^2\dfrac{\pi}{8}+4i\cos\dfrac{\pi}{8}\sin\dfrac{\pi}{8}$. (on rappelle que $\sin 2\theta=2\cos\theta\sin\theta$).

c) Montrer que $4\cos\dfrac{\pi}{8}\left(\cos\dfrac{\pi}{8}+i\sin\dfrac{\pi}{8}\right)$ est une forme trigonométrique du nombre $a$, puis montrer que $a^4=\left(2\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^4 i$.

II — On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$, les deux points $\Omega$ et $A$ d'affixes respectives $\omega$ et $a$ tels que $\omega=\sqrt{2}$ et $a=2+\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, et la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

1) Montrer que l'affixe $b$ du point $B$, image du point $A$ par la rotation $R$, est $2i$.

2) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z-2i|=2$.

Exercice 3 (Probabilités) — 3 points

Une urne $U_1$ contient $7$ boules : quatre boules rouges et trois boules vertes (les boules sont indiscernables au toucher).

Une autre urne $U_2$ contient $5$ boules : trois boules rouges et deux boules vertes (les boules sont indiscernables au toucher).

I) On considère l'épreuve suivante : on tire, simultanément et au hasard, trois boules de l'urne $U_1$.

Soit l'événement $A$ : « On tire une seule boule rouge et deux boules vertes »
et l'événement $B$ : « On tire trois boules de même couleur ».

Montrer que $p(A)=\dfrac{12}{35}$ et $p(B)=\dfrac{1}{7}$.

II) On considère l'épreuve suivante : on tire simultanément et au hasard deux boules de $U_1$ puis on tire au hasard une seule boule de $U_2$.

Soit l'événement $C$ : « On tire trois boules rouges ».
Montrer que $p(C)=\dfrac{6}{35}$.

Problème (Analyse) — 11 points

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ telle que : $f(x)=\dfrac{1}{x(1-\ln x)}$, et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ (unité $2$ cm).

I) 1) Montrer que $D_f=]0;e[\cup]e;+\infty[$ ($D_f$ est l'ensemble de définition de la fonction $f$).

2) a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to e^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to e^+}f(x)$, puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.

b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et en déduire que la courbe $(C_f)$ admet une asymptote au voisinage de $+\infty$ que l'on déterminera.

c) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ puis donner une interprétation géométrique à ce résultat (pour calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)$, remarquer que $x(1-\ln x)=x-x\ln x$).

3) a) Montrer que $f'(x)=\dfrac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}$ pour tout $x$ de $D_f$.

b) Montrer que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]0,1]$ et croissante sur chacun des deux intervalles $[1,e[$ et $]e,+\infty[$.

c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $D_f$.

II) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x)=1-x^2(1-\ln x)$, et soit $(C_g)$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé.

1) a) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $(E):g(x)=0,\ x\in]0;+\infty[$.

b) On donne le tableau de valeurs suivant : $g(2.1)=-0.14$, $g(2.2)=-0.02$, $g(2.3)=0.12$, $g(2.4)=0.28$.
Montrer que l'équation $(E)$ admet une solution $\alpha$ telle que $2.2\lt\alpha\lt 2.3$.

2) a) Vérifier que $f(x)-x=\dfrac{g(x)}{x(1-\ln x)}$ pour tout $x$ de $D_f$.

b) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$ coupe la courbe $(C_f)$ aux points d'abscisses $1$ et $\alpha$.

c) Déterminer, à partir de $(C_g)$, le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1,\alpha]$ et montrer que $f(x)-x\le 0$ pour tout $x$ de $[1,\alpha]$.

3) Tracer, dans le même repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, la droite $(\Delta)$ et la courbe $(C_f)$.

4) a) Montrer que $\displaystyle\int_1^{\sqrt{e}}\dfrac{1}{x(1-\ln x)}\,dx=\ln 2$ (remarquer que $\dfrac{1}{x(1-\ln x)}=\dfrac{\frac{1}{x}}{1-\ln x}$ pour tout $x$ de $D_f$).

b) Calculer, en cm², l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C_f)$, la droite $(\Delta)$, et les deux droites d'équations $x=1$ et $x=\sqrt{e}$.