Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2016 (Normale)

Exercice 1

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{3+u_n}{5-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) Vérifier que : $u_{n+1} - 3 = \dfrac{4(u_n-3)}{2+(3-u_n)}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, puis montrer par récurrence que $u_n \lt 3$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

2) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par : $v_n = \dfrac{u_n-1}{3-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et en déduire que $v_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

b) Montrer que $u_n = \dfrac{1+3v_n}{1+v_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 2

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A(2,1,3)$, $B(3,1,1)$ et $C(2,2,1)$ et la sphère $(S)$ d'équation :

$$x^2+y^2+z^2-2x+2y-34=0$$

1) a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC} = 2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}.$

b) En déduire que $2x+2y+z-9=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2) a) Montrer que le centre de la sphère $(S)$ est le point $\Omega(1,-1,0)$ et son rayon est $6$.

b) Montrer que $d(\Omega,(ABC)) = 3$ et en déduire que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$.

3) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par le point $\Omega$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

b) Montrer que le centre du cercle $(\Gamma)$ est le point $B$.

Exercice 3

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-4z+29=0.$

2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$, les points $\Omega$, $A$ et $B$ d'affixes respectives : $\omega = 2+5i$, $a = 5+2i$ et $b = 5+8i$.

a) Soit $u$ le nombre complexe tel que : $u = b-\omega$.
Vérifier que $u = 3+3i$ puis montrer que $\arg u \equiv \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi].$

b) Déterminer un argument du nombre complexe $\bar{u}$ ($\bar{u}$ étant le conjugué de $u$).

c) Vérifier que $a-\omega = \bar{u}$ puis en déduire que $\Omega A = \Omega B$ et $\arg\left(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi].$

d) On considère la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
Déterminer l'image du point $A$ par la rotation $R$.

Exercice 4

Une urne contient $10$ boules : quatre boules rouges et six boules vertes (les boules sont indiscernables au toucher).
On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne.

1) Soit $A$ l'évènement : « les deux boules tirées sont rouges ».
Montrer que $p(A) = \dfrac{2}{15}.$

2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux boules associe le nombre de boules rouges restantes dans l'urne.

a) Montrer que l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$ est $\{2,3,4\}.$

b) Montrer que $p(X=3) = \dfrac{8}{15}$ puis déterminer la loi de probabilité de $X.$

Problème

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x-2+e^{2x}-4e^{x}$ et soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1\,cm$).

Partie I

1) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty.$

b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x-2$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty.$

2) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty.$

b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} = +\infty$ puis interpréter géométriquement le résultat.

3) a) Montrer que $f'(x) = 2(e^{x}-1)^2$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}.$

b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ (remarquer que $f'(0)=0$).

c) Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ de l'intervalle $]1,4[$ tel que $f(\alpha)=0.$

4) a) Montrer que la courbe $(C_f)$ est au-dessus de la droite $(D)$ sur l'intervalle $]\ln 4,+\infty[$ et qu'elle est en-dessous de la droite $(D)$ sur l'intervalle $]-\infty,\ln 4[.$

b) Montrer que la courbe $(C_f)$ admet un seul point d'inflexion de coordonnées $(0,-5).$

c) Tracer la droite $(D)$ et la courbe $(C_f)$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. (on prendra $\ln 4 \approx 1{,}4$ et $\alpha \approx 1{,}3$).

5) a) Montrer que $\displaystyle\int_0^{\ln 4}(e^{2x}-4e^{x})\,dx = -\dfrac{9}{2}.$

b) Calculer en $cm^2$ l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C_f)$, la droite $(D)$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln 4.$

Partie II

1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y''-3y'+2y=0.$

b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ qui vérifie les deux conditions : $g(0)=-3$ et $g'(0)=-2.$

2) Soit $h$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]\ln 4,+\infty[$ par : $h(x) = \ln(e^{2x}-4e^{x}).$

a) Montrer que la fonction $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ et que $h^{-1}$ est définie sur $\mathbb{R}.$

b) Vérifier que $h(\ln 5) = \ln 5$ puis déterminer $(h^{-1})'(\ln 5).$