Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2016 (Rattrapage)

Exercice 1

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{16}u_n + \dfrac{15}{16}$ pour tout entier naturel $n$.

1)a) Montrer par récurrence que $u_n \gt 1$ pour tout entier naturel $n$.

b) Vérifier que $u_{n+1} - u_n = -\dfrac{15}{16}(u_n - 1)$ pour tout entier naturel $n$, puis montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

2) Soit $(v_n)$ la suite numérique telle que : $v_n = u_n - 1$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{16}$, puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.

b) Montrer que $u_n = 1 + \left(\dfrac{1}{16}\right)^n$ pour tout entier naturel $n$, puis déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1,3,4)$ et $B(0,1,2)$.

1)a) Montrer que $\vec{OA} \wedge \vec{OB} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$.

b) Montrer que $2x - 2y + z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.

2) Soit $(S)$ la sphère d'équation : $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 6y - 6z + 2 = 0$.
Montrer que le point $\Omega(3, -3, 3)$ est le centre de la sphère $(S)$ et que son rayon est $5$.

3)a) Montrer que le plan $(OAB)$ est tangent à la sphère $(S)$.

b) Déterminer les coordonnées de $H$, le point de contact du plan $(OAB)$ et de la sphère $(S)$.

Exercice 3

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 8z + 41 = 0$.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $\Omega$ d'affixes respectives $a$, $b$, $c$ et $\omega$ telles que $a = 4 + 5i$, $b = 4 - 5i$, $c = 6 + 7i$ et $\omega = 4 + 7i$.

a) Calculer $\dfrac{c - b}{a - b}$, puis en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

b) Soit $z'$ l'affixe d'un point $M'$ du plan, image $M$ d'affixe $z$ par la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.
Montrer que $z' = -iz - 3 + 11i$.

c) Déterminer l'image du point $C$ par la rotation $R$, puis donner une forme trigonométrique du nombre complexe $\dfrac{a - \omega}{c - \omega}$.

Exercice 4

Une urne contient $10$ boules portant les nombres $1\,;\,2\,;\,2\,;\,3\,;\,3\,;\,3\,;\,4\,;\,4\,;\,4\,;\,4$ (les boules sont indiscernables au toucher).
On considère l'expérience suivante : on tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

1) Soit $A$ l'évènement : « Obtenir deux boules portant deux nombres pairs ».
Montrer que $p(A) = \dfrac{1}{3}$.

2) On répète l'expérience précédente trois fois de suite, en remettant dans l'urne les deux boules tirées après chaque expérience.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'évènement $A$ est réalisé.
Montrer que $p(X = 1) = \dfrac{4}{9}$, puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Problème

I - On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = \dfrac{2}{x} - 1 + 2\ln x$. Le tableau de variation de $g$ sur $]0, +\infty[$ montre que $g$ admet un minimum en $x = 1$ valant $g(1)$, avec $g(x) \to +\infty$ aux bornes.

1) Calculer $g(1)$.

2) En déduire à partir du tableau que : $\forall x \in\, ]0, +\infty[\;,\; g(x) \gt 0$.

II - On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = 3 - 3x + 2(x + 1)\ln x$. $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ d'unité $2\,$cm.

1) Montrer que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.

2)a) Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (on pourra remarquer que $f(x)$ s'écrit sous la forme $f(x) = x\left[\dfrac{3}{x} - 3 + 2\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\ln x\right]$).

b) Montrer que la courbe $(C_f)$ admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dont la direction est celle de l'axe des ordonnées.

3)a) Montrer que $f'(x) = g(x)$ pour tout $x$ de $]0, +\infty[$.

b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$, puis dresser son tableau de variation sur $]0, +\infty[$.

4)a) Montrer que $I(1\,;\,0)$ est un point d'inflexion de la courbe $(C_f)$.

b) Montrer que $y = x - 1$ est l'équation de la tangente $(T)$ au point $I(1\,;\,0)$ à la courbe $(C_f)$.

c) Tracer dans le même repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ la droite $(T)$ et la courbe $(C_f)$.

5)a) Montrer que $\displaystyle\int_1^2\left(1 + \dfrac{x}{2}\right)dx = \dfrac{7}{4}$.

b) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que $\displaystyle\int_1^2 (x + 1)\ln x\,dx = 4\ln 2 - \dfrac{7}{4}$.

c) Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine limité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.

6) Résoudre graphiquement, dans l'intervalle $]0, +\infty[$, l'inéquation : $(x + 1)\ln x \geq \dfrac{3}{2}(x - 1)$.