Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2017 (Normale)

Exercice 1 (Géométrie dans l'espace)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le plan $(P)$ passant par le point $A(0\,;1\,;1)$ et dont $\vec{u}(1\,;0\,;-1)$ est un vecteur normal et la sphère $(S)$ de centre le point $\Omega(0\,;1\,;-1)$ et de rayon $\sqrt{2}$.

1) a) Montrer que $x-z+1=0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$.

b) Montrer que le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S)$ et vérifier que $B(-1\,;1\,;0)$ est le point de contact.

2) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$.

b) Montrer que la droite $(\Delta)$ est tangente à la sphère $(S)$ au point $C(1\,;1\,;0)$.

3) Montrer que $\vec{OC}\wedge\vec{OB}=2\vec{k}$ et en déduire l'aire du triangle $OCB$.

Exercice 2 (Probabilités)

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher portant chacune un nombre comme indiqué sur la figure ci-contre : les boules portent les nombres $0\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,2\,;\,2\,;\,2\,;\,4$ (deux boules portent $0$, une porte $1$, quatre portent $2$, une porte $4$).

On tire au hasard, simultanément, trois boules de l'urne.

1) Soit $A$ l'événement : « Parmi les trois boules tirées, aucune ne porte le nombre $0$ » et $B$ l'événement : « le produit des nombres portés par les trois boules tirées est égal à $8$ ».

Montrer que : $p(A)=\dfrac{5}{14}$ et que $p(B)=\dfrac{1}{7}$.

2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le produit des nombres portés par les trois boules tirées.

a) Montrer que $p(X=16)=\dfrac{3}{28}$.

b) Le tableau ci-contre concerne la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ (valeurs $x_i\in\{0\,;4\,;8\,;16\}$). Recopier et compléter le tableau en justifiant chaque réponse.

Exercice 3 (Nombres complexes)

On considère les nombres complexes $a$ et $b$ tels que : $a=\sqrt{3}+i$ et $b=\sqrt{3}-1+(\sqrt{3}+1)i$.

1) a) Vérifier que $b=(1+i)a$.

b) En déduire que $|b|=2\sqrt{2}$ et que $\arg b\equiv\dfrac{5\pi}{12}\ [2\pi]$.

c) Déduire de ce qui précède que : $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\vec{u},\vec{v})$.
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$ et le point $C$ d'affixe $c$ telle que : $c=-1+i\sqrt{3}$.

a) Vérifier que $c=ia$ et en déduire que $OA=OC$ et que $\left(\vec{OA},\vec{OC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.

b) Montrer que le point $B$ est l'image du point $A$ par la translation de vecteur $\vec{OC}$.

c) En déduire que le quadrilatère $OABC$ est un carré.

Problème

I. Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par : $g(x)=x^2+x-2+2\ln x$.
On donne, ci-contre, le tableau de variation de $g$ sur $]0\,;+\infty[$ : $g$ est strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$, avec $g'(x)\gt 0$.

1) Vérifier que $g(1)=0$.

2) À partir du tableau de variation de $g$, montrer que $g(x)\le 0$ pour tout $x$ de $]0\,;1]$ et que $g(x)\ge 0$ pour tout $x$ de $[1\,;+\infty[$.

II. On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par : $f(x)=x+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln x$.
Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité $1\,\text{cm}$).

1) Montrer que $\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ x\gt 0}}f(x)=+\infty$ et interpréter géométriquement le résultat.

2) a) Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

b) Montrer que la courbe $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite $(D)$ d'équation $y=x$.

3) a) Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$ pour tout $x$ de $]0\,;+\infty[$.

b) Montrer que $f$ est décroissante sur $]0\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$.

c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

4) a) Résoudre dans $]0\,;+\infty[$ l'équation $\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln x=0$.

b) En déduire que la courbe $(C)$ coupe la droite $(D)$ en deux points dont on déterminera les coordonnées.

c) Montrer que $f(x)\le x$ pour tout $x$ de $[1\,;2]$ et en déduire la position relative de $(C)$ et $(D)$ sur l'intervalle $[1\,;2]$.

5) Tracer sur le même repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ la droite $(D)$ et la courbe $(C)$ (on admettra que $(C)$ possède un seul point d'inflexion dont l'abscisse est comprise entre $2{,}4$ et $2{,}5$).

6) a) Montrer que $\displaystyle\int_1^2\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}(\ln 2)^2$.

b) Montrer que la fonction $H:x\mapsto 2\ln x-x$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto\dfrac{2}{x}-1$ sur $]0\,;+\infty[$.

c) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : $\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac{2}{x}-1\right)\ln x\,dx=(1-\ln 2)^2$.

d) Calculer, en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C)$, la droite $(D)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

III. On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0=\sqrt{3}$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$.

1) Montrer que $1\le u_n\le 2$ pour tout entier naturel $n$.

2) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II-4)c)).

3) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente puis déterminer sa limite.