Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2017 (Rattrapage)

Exercice 1 (Géométrie dans l'espace)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

On considère la sphère $(S)$ d'équation $x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$ et le plan $(P)$ d'équation $y-z=0$.

1.

a) Montrer que le point $\Omega(1,1,1)$ est le centre de la sphère $(S)$ et son rayon est $2$.

b) Calculer $d(\Omega,(P))$ et en déduire que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(C)$.

c) Déterminer le centre et le rayon du cercle $(C)$.

2. Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $A(1,-2,2)$ et orthogonale au plan $(P)$.

a) Montrer que $\vec{u}(0,1,-1)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.

b) Montrer que $\|\vec{\Omega A}\wedge\vec{u}\|=\sqrt{2}\,\|\vec{u}\|$ et en déduire que la droite $(\Delta)$ coupe la sphère $(S)$ en deux points.

c) Déterminer les coordonnées de chaque point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et la sphère $(S)$.

Exercice 2 (Probabilités)

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : cinq boules blanches, trois boules rouges et deux boules vertes.
On tire au hasard, simultanément, quatre boules de l'urne.

1. Soit $A$ l'événement : « Parmi les quatre boules tirées, une seule boule verte » et $B$ l'événement : « Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement trois boules de même couleur ».
Montrer que $p(A)=\dfrac{8}{15}$ et que $p(B)=\dfrac{19}{70}$.

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules vertes tirées.

a) Montrer que $p(X=2)=\dfrac{2}{15}$.

b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et montrer que son espérance mathématique est $\dfrac{4}{5}$.

Exercice 3 (Nombres complexes)

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2+4z+8=0$.

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ telles que : $a=-2+2i$, $b=4-4i$ et $c=4+8i$.

a) Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan et $z'$ l'affixe du point $M'$, image de $M$ par la rotation $R$ de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.
Montrer que $z'=-iz-4$.

b) Vérifier que le point $B$ est l'image du point $C$ par la rotation $R$ et en déduire la nature du triangle $ABC$.

3. Soit $\omega$ l'affixe du point $\Omega$, milieu du segment $[BC]$.

a) Montrer que $|c-\omega|=6$.

b) Montrer que l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-\omega|=6$ est le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Exercice 4 (Suites numériques)

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0=17$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+12$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

1.a) Montrer par récurrence que $u_n\gt 16$ pour tout entier naturel $n$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

2. Soit $(v_n)$ la suite numérique telle que $v_n=u_n-16$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.

b) En déduire que $u_n=16+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ pour tout entier naturel $n$ puis déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$.

c) Déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle $u_n\lt 16{,}001$.

Problème (Étude de fonction, primitives et calcul d'aire)

Partie I : Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=1-(x+1)^2 e^{x}$.

On donne ci-contre la courbe représentative $(C_g)$ de $g$.

1. Vérifier que $g(0)=0$.

2. À partir de la courbe représentative $(C_g)$, montrer que $g(x)\ge 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\,]-\infty,0]$ et que $g(x)\le 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0,+\infty[$.

Partie II : On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x+1-(x^2+1)e^{x}$.

Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $2$ cm).

1.a) Vérifier que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=x+1-4\left(\dfrac{x}{2}e^{x/2}\right)^2-e^{x}$ puis en déduire que $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

b) Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}\big[f(x)-(x+1)\big]$ et en déduire que la droite $(D)$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

c) Montrer que la courbe $(C_f)$ est en dessous de la droite $(D)$.

2.a) Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ (on pourra écrire $f(x)$ sous la forme $x\left[1+\dfrac{1}{x}-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)e^{x}\right]$).

b) Montrer que la courbe $(C_f)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique dont on déterminera la direction.

3.a) Montrer que $f'(x)=g(x)$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.

b) Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty,0]$ et décroissante sur l'intervalle $[0,+\infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

c) Montrer que la courbe $(C_f)$ admet deux points d'inflexion d'abscisses $-3$ et $-1$.

4. Construire, dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, la droite $(D)$ et la courbe $(C_f)$ (on prendra $f(-3)\approx-2{,}5$ et $f(-1)\approx-0{,}75$).

5.a) Vérifier que la fonction $H:x\mapsto(x-1)e^{x}$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto x e^{x}$ sur $\mathbb{R}$ puis montrer que $\displaystyle\int_{-1}^{0}x e^{x}\,dx=\dfrac{2}{e}-1$.

b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : $\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2+1)e^{x}\,dx=3\left(1-\dfrac{2}{e}\right)$.

c) Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C_f)$, la droite $(D)$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=-1$.