Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2018 (Normale)

Exercice 1 (4 points)

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A(0;-2;-2)$, $B(1;-2;-4)$ et $C(-3;-1;2)$.

1) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$, puis en déduire que $2x+2y+z+6=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2) On considère la sphère $(S)$ d'équation : $x^2+y^2+z^2-2x-2z-23=0$.
Vérifier que la sphère $(S)$ a pour centre $\Omega(1;0;1)$ et pour rayon $R=5$.

3) Vérifier que $\begin{cases} x=1+2t \\ y=2t \\ z=1+t \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$, est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

4) Déterminer les coordonnées de $H$, point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan $(ABC)$.

5) Vérifier que $d(\Omega;(ABC))=3$, puis montrer que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle, de rayon $4$, dont on déterminera le centre.

Exercice 2 (4 points)

1) Résoudre, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation : $2z^2+2z+5=0$.

2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

  a) Écrire, sous la forme trigonométrique, le nombre complexe $d=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$.

  b) On considère le point $A$ d'affixe $a=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i$, et le point $B$ l'image du point $A$ par la rotation $R$.
Soit $b$ l'affixe du point $B$.
Montrer que $b=d\cdot a$.

3) Soit $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}$, et le point $C$ l'image du point $B$ par la translation $t$ et $c$ l'affixe du point $C$.

  a) Vérifier que $c=b+a$, puis en déduire que $c=a\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ (On pourra utiliser la question 2-b).

  b) Déterminer $\arg\left(\dfrac{c}{a}\right)$ puis en déduire que le triangle $OAC$ est équilatéral.

Exercice 3 (3 points)

Une urne contient $9$ boules indiscernables au toucher : cinq boules rouges portant les nombres $1;1;2;2;2$ et quatre boules blanches portant les nombres $1;2;2;2$.
On considère l'expérience suivante : On tire, au hasard et simultanément, trois boules de l'urne.

Soit les évènements :

$A$ : « Les trois boules tirées sont de même couleur »

$B$ : « Les trois boules tirées portent le même nombre »

$C$ : « Les trois boules tirées sont de même couleur et portent le même nombre »

1) Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{6}$, $p(B)=\dfrac{1}{4}$ et $p(C)=\dfrac{1}{42}$.

2) On répète l'expérience précédente trois fois, avec remise des trois boules tirées dans l'urne après chaque tirage, et on considère la variable aléatoire $X$ qui est égale au nombre de fois de réalisation de l'évènement $A$.

  a) Déterminer les paramètres de la variable aléatoire binomiale $X$.

  b) Montrer que $p(X=1)=\dfrac{25}{72}$ et calculer $p(X=2)$.

Problème (9 points)

Partie I : Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=e^{x}-x^2+3x-1$. Le tableau de variations de $g$ montre que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de $-\infty$ à $+\infty$.

1) Vérifier que $g(0)=0$.

2) Déterminer le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $\,]-\infty;0]\,$ et $\,[0;+\infty[\,$.

Partie II : Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x^2-x)e^{-x}+x$. Et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1\,cm$).

1) a) Vérifier que $f(x)=\dfrac{x^2}{e^x}-\dfrac{x}{e^x}+x$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, puis montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

  b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)$, puis en déduire que la courbe $(C)$ admet une asymptote $(D)$ au voisinage de $+\infty$ d'équation $y=x$.

  c) Vérifier que $f(x)=\dfrac{x^2-x+xe^x}{e^x}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$.

  d) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty$, puis interpréter géométriquement le résultat.

2) a) Vérifier que $f(x)-x$ et $x^2-x$ ont le même signe pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

  b) En déduire que $(C)$ est au-dessus de $(D)$ sur chacun des intervalles $\,]-\infty;0]\,$ et $\,[1;+\infty[\,$, et en dessous de $(D)$ sur l'intervalle $[0;1]$.

3) a) Montrer que $f'(x)=g(x)e^{-x}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

  b) En déduire que la fonction $f$ est décroissante sur $\,]-\infty;0]\,$ et croissante sur $\,[0;+\infty[\,$.

  c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

4) a) Vérifier que $f''(x)=(x^2-5x+4)e^{-x}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

  b) En déduire que la courbe $(C)$ admet deux points d'inflexion d'abscisses successives $1$ et $4$.

5) Construire $(D)$ et $(C)$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (On prend $f(4)\approx 4{,}2$).

6) a) Montrer que la fonction $H:x\mapsto (x^2+2x+2)e^{-x}$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto -x^2e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire que $\displaystyle\int_0^1 x^2e^{-x}\,dx=\dfrac{2e-5}{e}$.

  b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx=\dfrac{e-2}{e}$.

  c) Calculer, en $cm^2$, l'aire du domaine plan limité par $(C)$ et $(D)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Partie III : Soit $(U_n)$ la suite numérique définie par : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) Montrer que $0\le u_n\le 1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ (On pourra utiliser le résultat de la question $II-3-b$).

2) Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante.

3) En déduire que $(U_n)$ est convergente et déterminer sa limite.