Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2018 (Rattrapage)

Exercice 1 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère la sphère $(S)$ de centre $\Omega(2,1,2)$ et de rayon $3$, et le plan $(P)$ passant par le point $A(-1,0,3)$ et dont $\vec{u}\,(4,0,-3)$ est un vecteur normal à $(P)$.

1) Montrer que $x^2+y^2+z^2-4x-2y-4z=0$ est une équation cartésienne de la sphère $(S)$.

2) Vérifier que $4x-3z+13=0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$.

3) a) Vérifier que $\left\{ \begin{array}{l} x=2+4t \\ y=1 \\ z=2-3t \end{array} \right.$ ($t\in\mathbb{R}$) est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(P)$.

b) Déterminer les coordonnées du point $H$, point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan $(P)$.

4) a) Calculer $d(\Omega,(P))$.

b) Montrer que le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera.

Exercice 2 (3 points)

1) Résoudre, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation : $z^2-2\sqrt{2}\,z+4=0$.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=\sqrt{2}(1-i)$ et $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

a) Écrire, sous forme trigonométrique, le nombre complexe $a$.

b) Vérifier que l'affixe du point $B$ image du point $A$ par la rotation $R$ est $b=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$.

3) a) On considère le point $C$ d'affixe $c=1+i$.
Montrer que $b^2-c^2=2\sqrt{3}$.

b) Soit $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{OC}$, et le point $D$ l'image du point $B$ par la translation $t$.
Montrer que $OD=|b+c|$.

c) En déduire que $OD\times BC=2\sqrt{3}$.

Exercice 3 (3 points)

Une urne contient $12$ boules, indiscernables au toucher, réparties comme suit : $3$ boules rouges portant chacune le nombre $1$, $3$ boules rouges portant chacune le nombre $2$ et $6$ boules vertes portant chacune le nombre $2$.

On tire, au hasard et simultanément, deux boules de l'urne.
On considère les événements suivants :

$A$ : « Les deux boules tirées portent le même nombre ».

$B$ : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

$C$ : « Les deux boules tirées portent deux nombres dont la somme est égale à $3$ ».

1) Montrer que $p(A)=\dfrac{13}{22}$ et $p(B)=\dfrac{6}{11}$, puis calculer $p(C)$.

2) a) Montrer que $p(A\cap B)=\dfrac{3}{11}$.

b) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.

3) Sachant que l'événement $B$ est réalisé, calculer la probabilité de tirer deux boules portant le même nombre.

Exercice 4 (2 points)

1) a) Montrer que la fonction $H:x\mapsto x e^x$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto (x+1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.

b) En déduire $\displaystyle\int_0^1 (x+1)e^x\,dx=e$.

2) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^1 (x^2+2x-1)e^x\,dx$.

Problème (9 points)

Partie I : Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x)=x^3-1-2\ln^2 x+2\ln x$.

Le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ est le suivant : $g$ est dérivable, $g'(x)\gt 0$ sur $]0;+\infty[$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ ; $g$ est donc strictement croissante de $-\infty$ vers $+\infty$.

1) Calculer $g(1)$.

2) À partir de ce tableau, déterminer le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]0;1]$ et $[1;+\infty[$.

Partie II : On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : $f(x)=x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x^2}+\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)^2$.
Soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1) a) Vérifier que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$.

b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-\dfrac{1}{2}$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$.

c) Déterminer la position relative de la droite $(D)$ et de la courbe $(\mathcal{C})$.

2) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ et interpréter le résultat géométriquement (axe).

3) a) Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$.

b) Montrer que la fonction $f$ est décroissante sur $]0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$.

c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.

4) Construire dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ la droite $(D)$ et la courbe $(\mathcal{C})$ (unité : $1$ cm).

Partie III : On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $h(x)=f(x)-x$.

1) a) Vérifier que $h(1)=0$.

b) Sur la figure, $(\mathcal{C}_h)$ est la représentation graphique de la fonction $h$.
Déterminer le signe de $h(x)$ sur chacun des intervalles $]0;1]$ et $[1;+\infty[$, puis en déduire que $f(x)\le x$ pour tout $x$ de l'intervalle $[1;+\infty[$.

2) On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0=e$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer, par récurrence, que $1\le u_n\le e$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question III-1-b)).

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.