Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2019 (Normale)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Expérimentales, session normale 2019. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(-1,-1,-1)$, $B(0,-2,1)$ et $C(1,-2,0)$.
1.a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}$.
1.b) En déduire que $x+3y+z+5=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
2. Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+1=0$.
Montrer que le centre de la sphère $(S)$ est $\Omega(2,-1,1)$ et que son rayon est $R=\sqrt{5}$.
3.a) Calculer $d(\Omega,(ABC))$, la distance du point $\Omega$ au plan $(ABC)$.
3.b) En déduire que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$ (la détermination du centre et du rayon de $(\Gamma)$ n'est pas demandée).
Exercice 2
1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2-2z+4=0$.
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $a=1-i\sqrt{3}$, $b=2+2i$, $c=\sqrt{3}+i$ et $d=-2+2\sqrt{3}$.
a) Vérifier que $a-d=-\sqrt{3}\,(c-d)$.
b) En déduire que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.
3. On considère $z$ l'affixe d'un point $M$ et $z'$ l'affixe de $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{-\pi}{3}$.
Vérifier que $z'=\dfrac{1}{2}\,a\,z$.
4. Soient $H$ l'image du point $B$ par la rotation $R$, $h$ son affixe et $P$ le point d'affixe $p$ tel que $p=a-c$.
a) Vérifier que $h=ip$.
b) Montrer que le triangle $OHP$ est rectangle et isocèle en $O$.
Exercice 3
Une urne contient dix boules : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire, indiscernables au toucher.
On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
On considère les événements suivants :
$A$ : « Obtenir trois boules vertes »
$B$ : « Obtenir trois boules de même couleur »
$C$ : « Obtenir au moins deux boules de même couleur »
1. Montrer que $P(A)=\dfrac{1}{120}$ et $P(B)=\dfrac{7}{40}$.
2. Calculer $P(C)$.
Problème
Première partie
Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$ par : $f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\ln x+\dfrac{1}{2}(\ln x)^2$, et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1$ cm).
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$, puis interpréter le résultat géométriquement.
2.a) Vérifier que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$ : $f(x)=x+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\ln x-1\right)\ln x$.
2.b) En déduire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
2.c) Montrer que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$ : $\dfrac{(\ln x)^2}{x}=4\left(\dfrac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2$, puis en déduire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0$.
2.d) Montrer que $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction asymptotique la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$.
3.a) Montrer que pour tout $x$ de $]0,1]$ : $(x-1)+\ln x\le 0$ et pour tout $x$ de $[1,+\infty[$ : $(x-1)+\ln x\ge 0$.
3.b) Montrer que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{x-1+\ln x}{x}$.
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
4.a) Montrer que $f''(x)=\dfrac{2-\ln x}{x^2}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$.
4.b) En déduire que $(C)$ admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
5.a) Montrer que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$ : $f(x)-x=\dfrac{1}{2}(\ln x-1)^2$, et en déduire la position relative de $(C)$ et $(\Delta)$.
5.b) Construire $(\Delta)$ et $(C)$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
6.a) Montrer que la fonction $H:x\mapsto x\ln x-x$ est une fonction primitive de $h:x\mapsto \ln x$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
6.b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{1}^{e}(\ln x)^2\,dx=e-2$.
6.c) Calculer, en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine plan limité par $(C)$, $(\Delta)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.
Deuxième partie
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1.a) Montrer par récurrence que $1\le u_n\le e$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
1.c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
2. Calculer la limite de la suite $(u_n)$.