Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2020 (Normale)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Expérimentales, session normale 2020. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1 (Suites numériques)
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0=\dfrac{3}{2}$ et $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{2u_n+5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1) Calculer $u_1$.
2) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n\gt 0$.
3) a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $0\lt u_{n+1}\le \dfrac{2}{5}u_n$, puis en déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $0\lt u_n\le \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
b) Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.
4) On considère la suite numérique $(v_n)$ définie par $v_n=\dfrac{4u_n}{2u_n+3}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$.
b) Déterminer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
Exercice 2 (Nombres complexes)
1) Dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, on considère l'équation : $(E):\;z^2-2(\sqrt{2}+\sqrt{6})z+16=0$.
a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est : $\Delta=-4\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^2$.
b) En déduire les solutions de l'équation $(E)$.
2) Soient les nombres complexes : $a=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)+i\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$, $\;b=1+i\sqrt{3}$ et $c=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$.
a) Vérifier que $b\bar{c}=a$, puis en déduire que $ac=4b$.
b) Écrire les nombres complexes $b$ et $c$ sous forme trigonométrique.
c) En déduire que : $a=4\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$.
3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $b$, $c$ et $d$ telle que $d=a^4$.
Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan et $z'$ l'affixe de $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{12}$.
a) Vérifier que : $z'=\dfrac{1}{4}az$.
b) Déterminer l'image du point $C$ par la rotation $R$.
c) Déterminer la nature du triangle $OBC$.
d) Montrer que $a^4=128\,b$ et en déduire que les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés.
Exercice 3 (Fonction primitive et calcul d'intégrale)
On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $g'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x}$.
1) a) Montrer que pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ : $g'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x}$.
b) Montrer que $g$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
c) En déduire que pour tout $x$ de $[1;+\infty[$ : $0\le\ln x\le 2\sqrt{x}$ (Remarquer que $2\sqrt{x}-2\le 2\sqrt{x}$).
d) Montrer que pour tout $x$ de $[1;+\infty[$ : $0\le\dfrac{(\ln x)^3}{x^2}\le\dfrac{8}{\sqrt{x}}$ et en déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^3}{x^2}$.
2) a) Montrer que la fonction $G:x\mapsto x\left(-1+\dfrac{4}{3}\sqrt{x}-\ln x\right)$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$.
b) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^{4}g(x)\,dx$.
(On prend ici $g(x)=2\sqrt{x}-\ln x-2$.)
Problème (Étude d'une fonction et fonction réciproque)
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=-x+\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}e^{x-2}\left(e^{x-2}-4\right)$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $2$ cm).
1) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
2) a) Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=-x+\dfrac{5}{2}$ est une asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $-\infty$.
b) Résoudre l'équation $e^{x-2}-4=0$ puis montrer que la courbe $(C)$ est au-dessus de $(\Delta)$ sur l'intervalle $]-\infty;2+\ln 4]$ et en dessous de $(\Delta)$ sur l'intervalle $[2+\ln 4;+\infty[$.
3) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty$ puis interpréter géométriquement le résultat.
4) a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $f'(x)=-\left(e^{x-2}-1\right)^2$.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
5) Calculer $f''(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis montrer que $A(2,2)$ est un point d'inflexion de $(C)$.
6) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ telle que $2+\ln 3\lt\alpha\lt 2+\ln 4$.
7) Construire $(\Delta)$ et $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prend $\ln 2\simeq 0{,}7$ et $\ln 3\simeq 1{,}1$).
8) a) Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$.
b) Construire dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ la courbe représentative de la fonction $f^{-1}$ (Remarquer que la droite $(\Delta)$ est perpendiculaire à la première bissectrice du repère).
c) Calculer $\left(f^{-1}\right)'(2-\ln 3)$ (Remarquer que $f^{-1}(2-\ln 3)=2+\ln 3$).