Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2020 (Rattrapage)

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

1) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n \lt 2$.

2) On pose pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$.

b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire $u_n$ en fonction de $n$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 2

1) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - \sqrt{2}\,z + 1 = 0$.

2) On pose $a = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i$.

a) Écrire $a$ sous forme trigonométrique et en déduire que $a^{2020}$ est un nombre réel.

b) Soit le nombre complexe $b = \cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
Prouver que $b^2 = a$.

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ tel que $c = 1$. La rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{8}$ transforme le point $M$ d'affixe $z$ au point $M'$ d'affixe $z'$.

a) Vérifier que $z' = bz$.

b) Déterminer l'image de $C$ par la rotation $R$ et montrer que $A$ est l'image de $B$ par $R$.

4) a) Montrer que $|a - b| = |b - c|$ puis déduire la nature du triangle $ABC$.

b) Déterminer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}\right)$.

5) Soit $T$ la translation du vecteur $\vec{u}$ et $D$ l'image de $A$ par la translation $T$.

a) Vérifier que l'affixe de $D$ est $b^2 + 1$.

b) Montrer que $\dfrac{b^2 + 1}{b} = b + \bar{b}$ et en déduire que les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés.

Exercice 3

On considère la fonction numérique $\mathcal{U}$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\mathcal{U}(x) = e^x - 2x + 2 - 3e^{-x}$.

1) a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $\mathcal{U}'(x) = \dfrac{(e^x - 1)^2 + 2}{e^x}$.

b) Poser le tableau de variations de la fonction $\mathcal{U}$ (sans calcul de limite).

c) En déduire le signe de la fonction $\mathcal{U}$ sur $\mathbb{R}$ (remarquer que $\mathcal{U}(0) = 0$).

2) Soit la fonction numérique $\mathcal{V}$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\mathcal{V}(x) = e^{2x} - 2xe^x + 2e^x - 3$.

a) Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $\mathcal{V}(x) = e^x\,\mathcal{U}(x)$.

b) En déduire le signe de la fonction $\mathcal{V}$ sur $\mathbb{R}$.

3) a) Montrer que la fonction $\mathcal{W}$ définie par $\mathcal{W}(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + (4 - 2x)e^x - 3x$ est une primitive de la fonction $\mathcal{V}$ sur $\mathbb{R}$.

b) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^2 \mathcal{V}(x)\,dx$.

c) Montrer que $\dfrac{9}{2}$ est le minimum absolu de la fonction $\mathcal{W}$ sur $\mathbb{R}$.

Problème

I — Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0\,;+\infty[$ par : $g(x) = e^{(1-x)} + \dfrac{1}{x} - 2$.

1) Montrer que $g'(x) \lt 0$ pour tout $x$ de $]0\,;+\infty[$.

2) Déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ (remarquer que $g(1) = 0$).

II — On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par : $f(x) = (1-x)e^{(1-x)} - x^2 + 5x - 3 - 2\ln x$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)$ (unité : $2$ cm).

1) Montrer que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}} f(x) = +\infty$ puis interpréter le résultat géométriquement.

2) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = -\infty$ puis interpréter le résultat géométriquement.

3) a) Montrer que pour tout $x$ de $]0\,;+\infty[$, $f'(x) = (x - 2)\,g(x)$.

b) Montrer que $f$ est décroissante sur $]0\,;1]$ et sur $[2\,;+\infty[$ et croissante sur $[1\,;2]$.

c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0\,;+\infty[$ (on admet $f(2) \approx 1{,}25$).

4) Sachant que $f(3) \approx 0{,}5$ et $f(4) \approx -1{,}9$, montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]3\,;4[$.

5) Construire $(\mathcal{C})$ dans le repère $\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)$.

III — On pose $h(x) = f(x) - x$ pour tout $x$ de $[1\,;2]$ (tableau de variations de $h$ : $h$ décroissante de $h(1) = 0$ jusqu'à $h(2)$).

1) a) À partir du tableau de variations de la fonction $h$, montrer que $f(x) \leq x$ pour tout $x$ de $[1\,;2]$.

b) Montrer que $1$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[1\,;2]$.

2) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

a) Montrer par récurrence que $1 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n$.