Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2021 (Rattrapage)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Expérimentales, session de rattrapage 2021. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1 (4 points)
Soit $(U_n)$ la suite numérique définie par : $U_0=\dfrac{1}{3}$ et $U_{n+1}=\dfrac{1+U_n}{3-U_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $\;0\lt U_n\lt 1$.
2) a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $\;U_{n+1}-U_n=\dfrac{(U_n-1)^2}{3-U_n}$.
b) Montrer que la suite $(U_n)$ est convergente.
3) On pose $V_n=\dfrac{1}{1-U_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
a) Montrer que $(V_n)$ est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier terme.
b) Déterminer $V_n$ en fonction de $n$ et en déduire que $U_n=\dfrac{n+1}{n+3}$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
c) Calculer la limite de la suite $(U_n)$.
4) À partir de quelle valeur de $n$, a-t-on $U_n\geq\dfrac{1011}{1012}$ ?
Exercice 2 (4 points)
1) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2-6z+13=0$.
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ telles que : $a=3+2i\,$ ; $\,b=3-2i\,$ et $\,c=-1-2i$.
a) Écrire $\dfrac{c-b}{a-b}$ sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle $ABC$.
3) Soit $R$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$ et le point $M'$ d'affixe $z'$ l'image de $M$ par $R$, et soit $D$ le point d'affixe $d=-3-4i$.
a) Écrire $z'$ en fonction de $z$.
b) Vérifier que $C$ est l'image du point $A$ par $R$.
4) a) Montrer que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.
b) Déterminer le rapport de l'homothétie $h$ de centre $C$ et qui transforme $A$ en $D$.
c) Déterminer l'affixe $m$ du point $E$ pour que le quadrilatère $BCDE$ soit un parallélogramme.
5) a) Montrer que $\dfrac{d-a}{m-b}$ est un nombre réel.
b) En déduire que le quadrilatère $ABED$ est un trapèze isocèle.
Exercice 3 (3 points)
On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $h(x)=x+\ln x$.
1) Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
2) Déterminer $h(]0,+\infty[)$.
3) a) En déduire que l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0,+\infty[$.
b) Montrer que $0\lt\alpha\lt 1$.
4) a) Vérifier que $h\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)=\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$.
b) En déduire que $h\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)\gt 2$.
Problème (9 points)
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2-xe^{-x+1}$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1\,cm$).
1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.
2) a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty$, et interpréter le résultat géométriquement.
3) a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $f'(x)=(x-1)e^{-x+1}$.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
4) a) Calculer $f''(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
b) Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2$.
5) Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prend $f(2)\simeq 1{,}25$).
6) Déterminer la valeur minimale de la fonction $f$ et en déduire que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $\;e^{x-1}\geq x$.
7) a) En utilisant une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^2 xe^{-x}\,dx$.
b) En déduire que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=4-e+3e^{-1}$.
8) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty,1]$.
a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
b) Construire la courbe représentative de $g^{-1}$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
c) À partir de la courbe représentative de $g^{-1}$, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{g^{-1}(x)}{x}\right)$.