Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2022 (Normale)

Exercice 1 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, on considère les points $A(0,1,1)$, $B(1,2,0)$ et $C(-1,1,2)$.

1)

a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec{i}+\vec{k}$.

b) En déduire que $x+z-1=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2) Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega(1,1,2)$ et de rayon $R=\sqrt{2}$.
Déterminer une équation de la sphère $(S)$.

3) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ au point $A$.

4) On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point $C$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$.

b) Montrer que la droite $(\Delta)$ est tangente à la sphère $(S)$ en un point $D$ dont on déterminera les coordonnées.

c) Calculer le produit scalaire $\vec{AC}\cdot(\vec{i}+\vec{k})$, puis en déduire la distance $d(A,(\Delta))$.

Exercice 2 (3 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=-1-i\sqrt{3}$, le point $B$ d'affixe $b=-1+i\sqrt{3}$ et la translation $t$ de vecteur $\vec{OA}$.

1) Prouver que l'affixe du point $D$ image du point $B$ par la translation $t$ est $d=-2$.

2) On considère la rotation $R$ de centre $D$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
Montrer que l'affixe du point $C$ image du point $B$ par la rotation $R$ est $c=-4$.

3) a) Écrire le nombre $\dfrac{b-c}{a-c}$ sous forme trigonométrique.

b) En déduire que $\left(\dfrac{b-c}{a-c}\right)^2=\dfrac{c-d}{b-d}$.

4) Soient $(\Gamma)$ le cercle de centre $D$ et de rayon $2$, $(\Gamma')$ le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ et $M$ un point d'affixe $z$ appartenant aux deux cercles $(\Gamma)$ et $(\Gamma')$.

a) Vérifier que $|z+2|=2$.

b) Prouver que $z+\bar{z}=-8$ (remarque : $|z|=4$).

c) En déduire que les cercles $(\Gamma)$ et $(\Gamma')$ se coupent en un point unique qu'on déterminera.

Exercice 3 (3 points)

Une urne contient dix boules : trois boules blanches, trois boules vertes et quatre boules rouges indiscernables au toucher.
On tire au hasard simultanément trois boules de l'urne.

1) Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{6}$, où $A$ est l'évènement « N'obtenir aucune boule rouge ».

2) Calculer $p(B)$, où $B$ est l'évènement « Obtenir trois boules blanches ou trois boules vertes ».

3) Montrer que $p(C)=\dfrac{1}{2}$, où $C$ est l'évènement « Obtenir exactement une boule rouge ».

4) Calculer $p(D)$, où $D$ est l'évènement « Obtenir au moins deux boules rouges ».

Exercice 4 (3 points)

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=(x+1)e^{x}.$

1) a) Vérifier que $x\mapsto xe^{x}$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$, puis calculer $I=\displaystyle\int_{-1}^{0}h(x)\,dx.$

b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $J=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,e^{x}\,dx.$

2) a) Résoudre l'équation différentielle $(E):\ y''-2y'+y=0.$

b) Montrer que la fonction $h$ est solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h(0)=1$ et $h'(0)=2.$

Problème (8 points)

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)^2.$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : 1 cm).

1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x).$

2) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et interpréter géométriquement le résultat.

3) a) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $-\infty.$

b) Étudier le signe de $(f(x)-x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ et en déduire la position relative de la courbe $(C)$ et de la droite $(\Delta).$

4) a) Montrer que $f'(x)=\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)^2+xe^{\frac{x}{2}}\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}.$

b) Vérifier que $\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)$ et $\left((x+1)e^{\frac{x}{2}}-1\right)$ ont le même signe sur $\mathbb{R}$, puis en déduire le signe de la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}.$

c) Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}.$

5) a) Montrer que $f''(x)=\dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}g(x)$ où $g(x)=(2x+4)e^{\frac{x}{2}}-x-4$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}.$

b) À partir de la courbe ci-contre de la fonction $g$, déterminer le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ (Remarque : $g(\alpha)=0$).

c) Étudier la concavité de la courbe $(C)$ et déterminer les abscisses des deux points d'inflexions.

6) Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ (On prend : $\ln(4)\simeq1{,}4$ ; $\alpha\simeq-4{,}5$ et $f(\alpha)\simeq-3{,}5$).

7) a) Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}.$

b) Calculer $\left(f^{-1}\right)'(\ln(4)).$

8) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}.$

a) Montrer par récurrence que $0\lt u_n\lt \ln(4)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}.$

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

d) Calculer la limite de la suite $(u_n).$