Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2022 (Rattrapage)

Exercice 1 (Suites)

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

1)a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\gt 1$.

b) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}(u_n-1)$ et déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante et convergente.

2) On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=u_n-1$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.

b) Écrire $u_n$ en fonction de $n$ puis déduire la limite de la suite $(u_n)$.

c) Calculer la somme $S=u_0+u_1+u_2+\cdots\cdots+u_{2021}$.

Exercice 2 (Géométrie dans l'espace)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les deux points $A(1,-1,1)$ et $B(5,1,-3)$.
Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega(3,0,-1)$ de rayon $R=3$, et $(\Delta)$ la droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2,-2,1)$.

1)a) Calculer la distance $\Omega A$.

b) Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(\Omega A)$ sont perpendiculaires.

c) Déduire la position relative de la droite $(\Delta)$ et la sphère $(S)$.

2) Soit le point $M_a(2a-3,\,3-2a,\,a-1)$ avec $a\in\mathbb{R}$.
Montrer que $\overrightarrow{AM_a}=(a-2)\vec{u}$ et déduire que $M_a\in(\Delta)$ pour tout $a\in\mathbb{R}$.

3)a) Vérifier que $2x-2y+z-9a+13=0$ est une équation du plan $(P_a)$ passant par $M_a$ et perpendiculaire à la droite $(\Delta)$.

b) Montrer que $d(\Omega,(P_a))=|3a-6|$.

c) Déterminer les deux valeurs de $a$ pour lesquelles le plan $(P_a)$ est tangent à la sphère $(S)$.

Exercice 3 (Nombres complexes)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1+5i$, $z_B=1-5i$ et $z_C=5-3i$.

1) Déterminer le nombre complexe $z_D$ affixe du point $D$ milieu du segment $[AC]$.

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.
Déterminer le nombre complexe $z_E$ affixe du point $E$ image de $B$ par $h$.

3) On considère la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)$.
Déterminer l'image de $B$ par $R$.

4) Soit $F$ le point d'affixe $z_F=-1+i$.

a) Vérifier que $\dfrac{z_D-z_A}{z_F-z_A}\times\dfrac{z_F-z_E}{z_D-z_E}=-1$.

b) En déduire que $(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF})\equiv\pi\,[2\pi]$.

c) Déterminer la forme trigonométrique du nombre $\dfrac{z_E-z_F}{z_A-z_F}$ et déduire la nature du triangle $AEF$.

d) Déduire que les points $A,D,E$ et $F$ appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre.

Exercice 4 (Probabilités)

Une urne contient trois boules blanches, quatre boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher : on tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.

1) On considère les événements suivants : $A$ : « Obtenir exactement deux boules rouges » et $B$ : « Obtenir exactement une boule verte ».

a) Montrer que $P(A)=\dfrac{12}{55}$ et $P(B)=\dfrac{21}{44}$.

b) Calculer $P(A/B)$, la probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

2) Soit la variable aléatoire $X$ qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.

a) Déterminer la loi de probabilité de $X$.

b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes.

Problème (Analyse)

Soit la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f(x)=x^4(\ln x-1)^2$ pour $x\gt 0$ et $f(0)=0$, et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1\,\text{cm}$).

1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$, puis déterminer la branche infinie de $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

2) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$.

3)a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ puis interpréter le résultat géométriquement.

b) Montrer que $f'(x)=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$.

c) Dresser le tableau de variations de $f$.

4)a) Sachant que $f''(x)=2x^2(6\ln x-5)\ln x$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, étudier le signe de $f''(x)$ sur $]0,+\infty[$.

b) Déduire que la courbe $(C)$ admet deux points d'inflexion dont on déterminera les abscisses.

5)a) Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prend : $\sqrt{e}\approx 1{,}6$ et $e^2\approx 7{,}2$).

b) En utilisant la courbe $(C)$, déterminer le nombre de solutions de l'équation $x^4(\ln x-1)^2=-1$.

6) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $g(x)=f(|x|)$.

a) Montrer que $g$ est paire.

b) Construire $(C_g)$, la courbe représentative de $g$ dans le même repère.

7) On pose $I=\displaystyle\int_1^e x^4(\ln x-1)\,dx$.

a) En utilisant une intégration par parties, montrer que $I=\dfrac{6-e^5}{25}$.

b) On considère la fonction $h$ définie sur $[1,+\infty[$ par $h(x)=x^5(\ln x-1)^2$.
Vérifier que $h'(x)=5f(x)+2x^4(\ln x-1)$.

c) Déduire que $\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}I$.

d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.