Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2023 (Normale)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\\vec{i},\\vec{j},\\vec{k})$, on considère les points $A(0,1,4)$, $B(2,1,2)$, $C(2,5,0)$ et $\\Omega(3,4,4)$.

1) a) Montrer que $\\vec{AB}\\wedge\\vec{AC}=4(2\\vec{i}+\\vec{j}+2\\vec{k})$.
b) En déduire l'aire du triangle $ABC$ et la distance $d(B,(AC))$.

2) Soit $D$ le milieu du segment $[AC]$.
a) Vérifier que $\\vec{D\\Omega}=\\frac{1}{4}(\\vec{AB}\\wedge\\vec{AC})$.
b) En déduire que $d(\\Omega,(ABC))=3$.

3) Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0$.
a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$.
b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera.

4) Soient $(Q_1)$ et $(Q_2)$ les deux plans parallèles à $(ABC)$ tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $\\sqrt{5}$.
Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $(Q_1)$ et $(Q_2)$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\\vec{u},\\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $a=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$, $b=1+\\sqrt{2}+i$, $c=\\bar{b}$ et $d=2i$.

1) Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique.

2) a) Vérifier que $b-d=c$.
b) Montrer que $(\\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.

3) a) Vérifier que $ac=2b$.
b) En déduire que $2\\arg(b)\\equiv\\frac{\\pi}{4}\\ [2\\pi]$.

4) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\\frac{\\pi}{4}$ qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$.
a) Montrer que $z'=\\frac{1}{2}az$.
b) En déduire que $R(C)=B$ et $R(A)=D$.
c) Montrer que $\\dfrac{b-a}{c-a}=\\left(\\dfrac{\\sqrt{2}-1}{2}\\right)a$, puis déduire une mesure de l'angle $(\\vec{AC},\\vec{AB})$.

Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0\,;0\,;1\,;1\,;1\,;2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres : $1\,;1\,;1\,;2\,;2$.
On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.

On considère l'expérience aléatoire suivante : « On tire une boule de l'urne $U_1$ et on note le nombre $a$ qu'elle porte, puis on la met dans l'urne $U_2$, ensuite on tire une boule de l'urne $U_2$ et on note le nombre $b$ qu'elle porte ».

On considère les événements : $A$ : « la boule tirée de l'urne $U_1$ porte le nombre $1$ » ; $B$ : « le produit $ab$ est égal à $2$ ».

1) a) Calculer $p(A)$, la probabilité de l'événement $A$.
b) Montrer que $p(B)=\\frac{1}{4}$ (On peut utiliser l'arbre des possibilités).

2) Calculer $p(A/B)$ : probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé.

3) Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience le produit $ab$.
a) Montrer que $p(X=0)=\\frac{1}{3}$.
b) Donner la loi de probabilité de $X$ (Les valeurs prises par $X$ sont : $0\,;1\,;2$ et $4$).
c) On considère les événements : $M$ : « le produit $ab$ est pair non nul » et $N$ : « le produit $ab$ est égal à $1$ ».
Montrer que les événements $M$ et $N$ sont équiprobables.

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\\infty[$ par $f(x)=2-\\dfrac{2}{x}+(1-\\ln x)^2$.
Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\\vec{i},\\vec{j})$ (unité : 1 cm).

1) a) Vérifier que pour tout $x\in]0,+\\infty[$ : $f(x)=\\dfrac{3x-2-2x\\ln x+x(\\ln x)^2}{x}$.
b) Montrer que $\\lim\\limits_{x\\to 0^+}x(\\ln x)^2=0$ et que $\\lim\\limits_{x\\to+\\infty}\\dfrac{(\\ln x)^2}{x}=0$ (On peut poser $t=\\sqrt{x}$).
c) Déduire $\\lim\\limits_{x\\to 0^+}f(x)=-\\infty$, puis donner une interprétation géométrique du résultat.
d) Calculer $\\lim\\limits_{x\\to+\\infty}f(x)$, puis montrer que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\\infty$.

2) Montrer que pour tout $x\in]0,+\\infty[$ : $f'(x)=\\dfrac{2(1-x+x\\ln x)}{x^2}$.

3) En exploitant le tableau de variation de la fonction dérivée $f'$ sur $]0,+\\infty[$ ci-dessous (où $f'(x)\to+\\infty$ quand $x\to0^+$, $f'(1)=0$, $f'$ croît jusqu'à $f'(\\beta)$ en $\\beta$ puis décroît vers $0$ en $+\\infty$, avec $\\beta\\simeq 4{,}9$) :
a) Prouver que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\\infty[$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
b) Donner le tableau de signe de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sur $]0,+\\infty[$.
c) Déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion.

4) La courbe $(C_g)$ (donnée sur le sujet) est la représentation graphique de la fonction $g:x\\mapsto f(x)-x$ qui s'annule en $\\alpha$ et $1$ (avec $\\alpha\\simeq 0{,}3$).
Soit $(\\Delta)$ la droite d'équation $y=x$.
a) À partir de la courbe $(C_g)$, déterminer le signe de la fonction $g$ sur $]0,+\\infty[$.
b) Déduire que la droite $(\\Delta)$ est en dessous de $(C_f)$ sur l'intervalle $[\\alpha,1]$ et au-dessus de $(C_f)$ sur les intervalles $]0,\\alpha]$ et $[1,+\\infty[$.

5) Construire la courbe $(C_f)$ et la droite $(\\Delta)$ dans le repère $(O,\\vec{i},\\vec{j})$ (on prend $\\alpha\\simeq 0{,}3$, $\\beta\\simeq 4{,}9$ et $f(\\beta)\\simeq 1{,}9$).

6) a) Vérifier que la fonction $x\\mapsto 2x-x\\ln x$ est une primitive de la fonction $x\\mapsto 1-\\ln x$ sur $[\\alpha,1]$.
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{\alpha}^{1}(1-\ln x)^2\,dx=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$.
c) Déduire en fonction de $\\alpha$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\\alpha$ et $x=1$.

7) Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0\in]\\alpha,1[$ et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\\mathbb{N}$.
a) Montrer par récurrence que $\\alpha\\lt u_n\\lt 1$ pour tout $n$ de $\\mathbb{N}$.
b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante (on peut utiliser la question 4)b)).
c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.