Examen national — 2BAC Sciences Exp — 2024 (Normale)

Exercice 1 (3 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{4u_n - 2}{1 + u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

1.a) Vérifier que $u_{n+1} = 4 - \dfrac{6}{1 + u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

1.b) Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$, pour tout entier naturel $n$.

2.a) Montrer que $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(u_n - 1)(2 - u_n)}{1 + u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

2.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que $(u_n)$ est convergente.

3. Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par $v_n = \dfrac{2 - u_n}{1 - u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

3.a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.

3.b) Montrer que $u_n = 1 + \dfrac{1}{1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}$, pour tout entier naturel $n$.

3.c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 2 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les deux points $A(-1,0,-1)$ et $B(1,2,-1)$, le plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(2,-2,1)$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(2,-1,0)$ et de rayon $5$.

1. Montrer que $2x - 2y + z + 3 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$.

2. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $(S)$.

3.a) Vérifier que la distance du point $\Omega$ au plan $(P)$ est $d(\Omega,(P)) = 3$.

3.b) En déduire que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$ de rayon à déterminer.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(P)$.

5.a) Montrer que le point $H(0,1,-1)$ est le centre du cercle $(\Gamma)$.

5.b) Montrer que la droite $(\Delta)$ est une médiatrice du segment $[AB]$.

Exercice 3 (3 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a = \sqrt{3}(1 - i)$ et $b = 2 + \sqrt{3} + i$.

1. Vérifier que $|a| = \sqrt{6}$ et que $\arg(a) \equiv \dfrac{-\pi}{4}\ [2\pi]$.

2.a) Montrer que $\dfrac{b}{a} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6} + \left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\right) i$ ; puis vérifier que $\dfrac{b}{a} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}\, e^{i\frac{\pi}{3}}$.

2.b) En déduire une forme trigonométrique du complexe $b$ puis vérifier que $b^{24}$ est un nombre réel.

3. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$, qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$.
On pose $R(B) = B'$, $R(A) = A'$ et $R(A') = A''$.

3.a) Vérifier que $z' = \dfrac{1}{2}(\sqrt{3} + i)z$ et que $\arg(a') \equiv \dfrac{-\pi}{12}\ [2\pi]$, où $a'$ est l'affixe du point $A'$.

3.b) Montrer que l'affixe du point $A''$ est $a'' = \sqrt{6}\, e^{i\frac{\pi}{12}}$ et en déduire que les points $O$, $A''$ et $B$ sont alignés.

3.c) Montrer que $b'$, l'affixe du point $B'$, vérifie $b' = \left(\dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)\bar{a}$.

3.d) En déduire que le triangle $OAB'$ est rectangle en $O$.

Exercice 4 (3 points)

Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro $1$, deux boules portant le numéro $2$ et une boule portant le numéro $3$. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

1. Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{7}$, où $A$ est l'évènement « les deux boules tirées portent le même numéro ».

2. Montrer que $p(B) = \dfrac{5}{21}$, où $B$ est l'évènement « la somme des numéros des deux boules tirées est $4$ ».

3. Calculer $p(A \cap B)$.

4. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Problème (8 points)

Partie I. On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $u(x) = e^x$ et $v(x) = x$.

1. Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $(C_u)$ et $(C_v)$ des fonctions $u$ et $v$.

2. Justifier graphiquement que $e^x - x \gt 0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

3. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_u)$, la courbe $(C_v)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

Partie II. On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x) = x + 1 - \ln(e^x - x)$.

1.a) Vérifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

1.b) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = 1 - \ln\left(1 - x\,e^{-x}\right)$.

1.c) En déduire $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$, puis interpréter géométriquement ce résultat.

2.a) Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$.

2.b) Vérifier que pour tout $x \lt 0$, $f(x) = x + 1 - \ln(-x) - \ln\left(1 - \dfrac{1}{x}e^{-x}\right)$.

2.c) Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ puis en déduire que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ au voisinage de $-\infty$.

3.a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = \dfrac{1 - e^{-x}}{e^x - x}\cdot e^x$ (c'est-à-dire $f'(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x - x}$).

3.b) Étudier le signe de la fonction dérivée de $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3.c) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\,]-1,0]$.

4. La courbe $(C_f)$ ci-dessous est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

4.a) Justifier graphiquement que l'équation $f(x) = x$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$.

4.b) Montrer que $e^\alpha - \alpha = e^{1-\alpha}$ et $e^\beta - \beta = e^{1-\beta}$.

5. Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $I = \,]-\infty,1]$.

5.a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer $g^{-1}(x)$.)

5.b) Vérifier que $g^{-1}$ est dérivable en $1$, puis calculer $(g^{-1})'(1)$.