Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2008 (Normale)

Exercice 1 (3,25 pts) — Structures algébriques.

On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel et que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif.

On pose : $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $\;J=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}} & 0 \end{pmatrix}$ et $\;E=\left\{\, M(a,b)=\begin{pmatrix} a & \sqrt{3}\,b \\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,b & a \end{pmatrix} \;/\; a,b\in\mathbb{R} \right\}.$

1.

a) Montrer que $(E,+,\cdot)$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel réel $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$.

b) Montrer que la famille $(I,J)$ est une base de l'espace vectoriel $(E,+,\cdot)$.

2. On considère l'application $\;\varphi : \mathbb{C}^{*} \longrightarrow E^{*}$ , $\;a+ib \longmapsto M(a,b)\;$ où $\;E^{*}=E\setminus\{M(0,0)\}.$

a) Montrer que $E^{*}$ est une partie stable de $(E,\times)$.

b) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de $(\mathbb{C}^{*},\times)$ vers $(E^{*},\times)$.

3. Montrer que $(E^{*},\times)$ est un groupe commutatif.

4. Résoudre dans $E^{*}$ l'équation : $\;J\times X^{3}=I\;$ (où $X^{3}=X\times X\times X$).

Exercice 2 (3,75 pts) — Nombres complexes.

Soit $a$ un nombre complexe non nul et $\bar{a}$ le conjugué de $a$.

Partie I. On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation : $\;(G):\; iz^{2}+(a+\bar{a}-i)z-\bar{a}-ia\bar{a}=0.$

1.a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(G)$ est : $\Delta=(a-\bar{a}-i)^{2}$.

b) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation $(G)$.

2. Montrer que $a$ est une solution de l'équation $(G)$ si, et seulement si, $\mathrm{Re}(a)=\mathrm{Im}(a)$ (où $\mathrm{Re}(a)$ est la partie réelle du complexe $a$ et $\mathrm{Im}(a)$ est la partie imaginaire du complexe $a$).

Partie II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ et on suppose que $\mathrm{Re}(a)\neq\mathrm{Im}(a)$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $a$, $i\bar{a}$ et $1+ia$.

1. On pose : $Z=\dfrac{(1+ia)-a}{i\bar{a}-a}$.

a) Vérifier que : $\bar{Z}=\dfrac{(i-1)\bar{a}-i}{i\bar{a}-a}$.

b) Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, $\mathrm{Im}(a)=\dfrac{1}{2}$.

2. On suppose dans cette question que $\mathrm{Im}(a)\neq\dfrac{1}{2}$.
On considère $R_{1}$ la rotation de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ et $R_{2}$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
On pose : $R_{1}(B)=B'$ et $R_{2}(C)=C'$.
Soit $E$ le milieu du segment $[BC]$.

a) Déterminer $b'$ et $c'$ les affixes respectives de $B'$ et $C'$.

b) Montrer que les droites $(AE)$ et $(B'C')$ sont perpendiculaires et que $B'C'=2AE$.

Exercice 3 (3 pts) — Arithmétique.

Partie I. On considère dans l'ensemble $\mathbb{Z}^{2}$ l'équation suivante : $\;(E):\;35u-96v=1.$

1. Vérifier que le couple $(11,4)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

2. Déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.

Partie II. On considère dans l'ensemble $\mathbb{N}$ l'équation suivante : $\;(F):\;x^{35}\equiv 2\;[97].$

1. Soit $x$ une solution de l'équation $(F)$.

a) Montrer que $97$ est premier et que $x$ et $97$ sont premiers entre eux.

b) Montrer que : $x^{96}\equiv 1\;[97]$.

c) Montrer que : $x\equiv 2^{11}\;[97]$.

2. Montrer que si l'entier naturel $x$ vérifie $x\equiv 2^{11}\,[97]$, alors $x$ est solution de l'équation $(F)$.

3. Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation $(F)$ est l'ensemble des entiers naturels qui s'écrivent sous la forme : $\;11+97k\;$ avec $k\in\mathbb{N}$.

Exercice 4 (10 pts) — Analyse.

Partie I. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}_{+}$ par : $\;f(x)=2x-e^{-x^{2}}$, et soit $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1.a) Calculer la limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-2x\big)$ puis interpréter le résultat obtenu géométriquement.

b) Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+}$, puis dresser le tableau des variations de $f$.

c) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}_{+}$ et que $0\lt\alpha\lt1$.

d) Étudier le signe de $f(x)$ dans l'intervalle $[0;1]$.

2. Tracer la courbe $(\mathcal{C}_{f})$. (On prend $\alpha\approx0{,}4$.)

Partie II. On considère les deux fonctions $\varphi$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}_{+}$ par : $\;g(x)=x^{2}-\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\;$ et $\;\begin{cases}\varphi(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\ ; & x\gt0\\[4pt]\varphi(0)=1\end{cases}$

1.a) Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R}_{+}^{*})(\exists c\in\,]0;x[)\ ;\ \dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt=e^{-c^{2}}.$

b) Déduire que : $\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\lt1.$

2.a) Montrer que : $g(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}f(t)\,dt.$

b) Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}$ et que $(\forall x\in\mathbb{R}_{+})\ ;\ g'(x)=f(x)$.

c) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ dans l'intervalle $]0;1[$.

3.a) Montrer que la fonction $\varphi$ est continue à droite en $0$.

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R}_{+}^{*})\ ;\ \varphi(x)=e^{-x^{2}}+\dfrac{2}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}t^{2}e^{-t^{2}}\,dt.$

c) Montrer que la fonction $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ et que : $(\forall x\in\mathbb{R}_{+}^{*})\ ;\ \varphi'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}\displaystyle\int_{0}^{x}t^{2}e^{-t^{2}}\,dt.$

d) Montrer que : $\varphi([0;1])\subset[0;1]$.

4.a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+}$ on a : $\displaystyle\int_{0}^{x}t^{2}e^{-t^{2}}\,dt\le\dfrac{x^{3}}{3}.$

b) Montrer que : $(\forall x\in\,]0;1[)\ ;\ |\varphi'(x)|\le\dfrac{2}{3}.$