Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2008 (Rattrapage)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths (A & B), session de rattrapage 2008. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1 (Nombres complexes)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère l'application $r$ qui associe à un point $M(z)$ le point $M_1(z_1)$ tel que :
$$z_1=\dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{2}\,z+\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}$$
Et l'application $h$ qui associe à un point $M(z)$ le point $M_2(z_2)$ tel que : $z_2=-2z+3i$.
On pose : $F=h\circ r$.
1. Déterminer la nature de chacune des deux applications $r$ et $h$ et leurs éléments caractéristiques.
2. On considère les deux points $\Omega(i)$ et $A(a)$ avec $a$ un nombre complexe donné différent de $i$.
On pose : $B=F(A)$ et $C=F(B)$ et $D=F(C)$.
a) Montrer que si le point $M'(z')$ est l'image du point $M(z)$ par l'application $F$ alors : $$z'-i=2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,(z-i)$$
b) Vérifier que $\Omega$ est l'unique point qui vérifie : $F(\Omega)=\Omega$.
3.
a) Déterminer en fonction du nombre complexe $a$ les complexes $b$, $c$ et $d$ affixes respectives de $B$, $C$ et $D$.
b) Montrer que les points $\Omega$, $A$ et $D$ sont alignés.
c) Montrer que $\Omega$ est le barycentre du système pondéré $\{(B,4);(C,2);(D,1)\}$.
d) Déterminer l'ensemble des points $A(a)$ pour que le point $D$ appartienne à l'axe des réels.
Exercice 2 (Structures algébriques)
On munit l'ensemble $\mathbb{R}$ par une loi de composition interne $*$ définie par :
$$\left(\forall(x;y)\in\mathbb{R}^2\right)\;;\quad x*y=x+y-3xy$$
1.a) Vérifier que : $\left(\forall(x;y)\in\mathbb{R}^2\right)\;;\; (1-3x)(1-3y)=1-3(x*y)$.
b) Montrer que $\left(\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{3}\right\};*\right)$ est un groupe abélien.
2.a) Montrer que l'application $\phi:\left(\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{3}\right\};*\right)\longrightarrow(\mathbb{R}^*;\times)$, $x\longmapsto 1-3x$, est un isomorphisme.
b) Montrer que : $\phi^{-1}(\mathbb{R}_+^*)=\left]-\infty;\tfrac{1}{3}\right[$.
c) Montrer que $\left(\left]-\infty;\tfrac{1}{3}\right[;*\right)$ est un sous-groupe de $\left(\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{3}\right\};*\right)$.
3. Pour chaque $x$ de l'ensemble $\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{3}\right\}$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on pose : $$x^{(0)}=0\quad\text{et}\quad x^{(n+1)}=x^{(n)}*x$$
a) Montrer que : $\left(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{3}\right\}\right);(\forall n\in\mathbb{N})\;;\;\phi\!\left(x^{(n)}\right)=(\phi(x))^n$.
b) En déduire $x^{(n)}$ en fonction de $x$ et $n$.
4. On munit l'ensemble $\mathbb{R}$ d'une loi de composition interne $\top$ définie par : $$\left(\forall(x;y)\in\mathbb{R}^2\right)\;;\;x\top y=x+y-\tfrac{1}{3}$$
a) Montrer que $(\mathbb{R};\top)$ est un groupe abélien.
b) Montrer que $(\mathbb{R};\top;*)$ est un corps commutatif.
Exercice 3 (Probabilités)
Une urne contient $4$ boules : une boule blanche et $3$ boules rouges, indiscernables au toucher.
On tire aléatoirement une boule de l'urne, on note sa couleur puis on la remet à l'urne.
On répète la même expérience plusieurs fois jusqu'à obtenir pour la première fois deux boules successives de même couleur, et on arrête l'expérience.
Soit $X$ la variable aléatoire qui vaut le rang du tirage où on a arrêté l'expérience.
1. Calculer la probabilité des deux événements suivants : $[X=2]$ et $[X=3]$.
2. Soit $k$ un entier naturel non nul.
a) Montrer que la probabilité de l'événement $[X=2k]$ est : $$P_{2k}=\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{3}{16}\right)^{k-1}$$
b) Montrer que la probabilité de l'événement $[X=2k+1]$ est : $$P_{2k+1}=\left(\dfrac{3}{16}\right)^{k}$$
Exercice 4 (Analyse) — Problème
Partie I. On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $I=\left]-\tfrac12;+\infty\right[$ par : $$\begin{cases} f(x)=\dfrac{\ln(1+2x)}{x} & ;\ x\neq 0\\[4pt] f(0)=2 \end{cases}$$
et soit $(\mathcal{C}_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$.
1. Montrer que la fonction $f$ est continue en $0$.
2. Pour tout réel non nul $a$ de l'intervalle $I$, on considère la fonction numérique $h_a$ de variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $I$ par : $$h_a(x)=\big(\ln(1+2a)-2a\big)x^2-\big(\ln(1+2x)-2x\big)a^2$$
a) Calculer $h_a(a)$ et $h_a(0)$ puis déduire qu'il existe $b$ réel compris entre $0$ et $a$ tel que : $$\dfrac{\ln(1+2a)-2a}{a^2}=\dfrac{-2}{1+2b}$$
b) En déduire que la fonction $f$ est dérivable en $0$ et que $f'(0)=-2$.
3.a) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $I\setminus\{0\}$ et que : $$(\forall x\in I\setminus\{0\})\;;\;f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2(1+2x)}\ \text{ avec }\ g(x)=2x-(1+2x)\ln(1+2x)$$
b) Montrer que : $(\forall x\in I\setminus\{0\})\;;\;g(x)\lt 0$.
c) En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.
4.a) Calculer les deux limites $\displaystyle\lim_{x\to-\frac12^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ puis interpréter les deux résultats obtenus géométriquement.
b) Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ de l'intervalle $[1;2]$ tel que : $f(\alpha)=1$.
c) Tracer la courbe $(\mathcal{C}_f)$. (On prend $\alpha\approx 1,3$.)
Partie II.
1. On considère la fonction $\phi$ définie sur l'intervalle $I$ par : $\phi(x)=\ln(1+2x)$ et on pose $J=[1;\alpha]$.
a) Montrer que la fonction $\phi$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et que : $$(\forall x\geq 1)\;;\;0\lt\phi'(x)\leq\dfrac{2}{3}$$
b) Vérifier que : $\phi(\alpha)=\alpha$ et que : $\phi(J)\subset J$.
2. On considère la suite numérique $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $$\begin{cases} u_{n+1}=\ln(1+2u_n) & ;\ (\forall n\in\mathbb{N})\\ u_0=1 \end{cases}$$
a) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\;;\;u_n\in J$.
b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\;;\;|u_n-\alpha|\leq\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.
c) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et déterminer sa limite.
Partie III. On considère la fonction numérique $F$ définie sur l'intervalle $I$ par : $$F(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$$
1.a) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur l'intervalle $I$ puis calculer $F'(x)$.
b) Déduire les variations de la fonction $F$ sur l'intervalle $I$.
2.a) Montrer que : $(\forall x\geq 1)\;;\;F(x)\geq\displaystyle\int_1^x\dfrac{\ln(1+2t)}{1+2t}\,\mathrm{d}t$.
b) Déduire que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty$.
3. On suppose que la fonction $F$ admet une limite finie $l$ à droite en $-\tfrac12$.
On considère la fonction $\tilde{F}$ définie sur l'intervalle $\left[-\tfrac12;+\infty\right[$ par : $$\begin{cases} \tilde{F}(x)=F(x) & ;\ x\in I\\ \tilde{F}\!\left(-\tfrac12\right)=l \end{cases}$$
a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : $$(\forall x\in I)\;;\;F(x)-l\geq f(x)\left(x+\tfrac12\right)$$
b) Déduire que la fonction $\tilde{F}$ n'est pas dérivable à droite en $-\tfrac12$.