Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2009 (Normale)

Exercice 1 (3 pts) — Structures.

$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$.
On rappelle que $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \times)$ est un anneau unitaire dont l'élément neutre est $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des matrices carrées $M(x;y)$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telles que :

$M(x;y)=\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & \dfrac{1}{x} \end{pmatrix}\quad \text{avec } (x;y)\in\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}.$

1. a) Montrer que l'ensemble $\mathcal{F}$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); \times)$.
b) Montrer que $(\mathcal{F}; \times)$ est un groupe non commutatif.

2. Soit $G$ l'ensemble des matrices $M(x;0)$ de $\mathcal{F}$ avec $x\in\mathbb{R}^*$.
Montrer que l'ensemble $G$ est un sous-groupe du groupe $(\mathcal{F}; \times)$.

3. On pose $E=\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$.
On munit l'ensemble $E$ de la loi de composition interne $\perp$ définie par :

$(\forall(x;y)\in E)(\forall(a;b)\in E)\ ;\ (x;y)\perp(a;b)=\left(ax;\ bx+\dfrac{y}{a}\right)$

et on considère l'application $\phi : (\mathcal{F};\times)\longrightarrow (E;\perp)$, $M(x;y)\longmapsto \phi(M(x;y))=(x;y)$.

a) Calculer $(1;1)\perp(2;3)$ et $(2;3)\perp(1;1)$.
b) Montrer que $\phi$ est un isomorphisme.
c) En déduire la structure de $(E;\perp)$.

Exercice 2 (4 pts) — Nombres complexes.

Soit $m$ un nombre complexe différent de $1$.

I) On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :

$(E)\ :\ z^2-(1-i)(m+1)z-i(m^2+1)=0$

1. a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est : $\Delta=[(1+i)(m-1)]^2$.
b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.
c) Déterminer sous forme algébrique les deux valeurs du complexe $m$ afin que le produit des deux solutions de $(E)$ soit égal à $1$.

2. On pose $z_1=1-im$ et $z_2=m-i$. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique dans le cas où $m=e^{i\theta}$ avec $\dfrac{\pi}{2}\lt \theta\lt \pi$.

II) Le plan complexe $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{e_1};\vec{e_2})$.
On considère les points $M$, $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectivement $m$ ; $z_1=1-im$ et $z_2=m-i$.

1. Déterminer l'ensemble des points $M$ pour lesquels les points $M$, $M_1$ et $M_2$ soient alignés.

2. a) Montrer que la transformation $R$ reliant chaque point $M$ d'affixe $z$ au point $M'$ d'affixe $z'=1-iz$ est une rotation dont on déterminera l'affixe de son centre $\Omega$ et une mesure de son angle.
b) Montrer que le nombre complexe $\dfrac{z_2-z_1}{z_2-m}$ est un imaginaire pur si et seulement si $\Re e(m)+\Im m(m)=1$.
c) En déduire l'ensemble des points $M$ tels que les points $\Omega$, $M$, $M_1$ et $M_2$ soient cocycliques.

Exercice 3 (3 pts) — Arithmétique.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

1. a) Vérifier que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, $a_n$ est pair.
b) Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles : $a_n\equiv0\ [3]$.

2. Soit $p$ un entier premier tel que : $p\gt 3$.
a) Montrer que : $2^{p-1}\equiv1\ [p]$, $3^{p-1}\equiv1\ [p]$ et $6^{p-1}\equiv1\ [p]$.
b) Montrer que l'entier $p$ divise $a_{p-2}$.
c) Montrer que pour tout entier naturel $q$, il existe un entier naturel non nul $n$ tel que : $a_n\wedge q=q$ ($a_n\wedge q$ désigne le plus grand commun diviseur de $a_n$ et $q$).

Exercice 4 / Problème (10 pts) — Analyse.

Partie I : Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : $f_n(x)=\begin{cases} x(1-\ln(x))^n & \text{si } x\gt 0 \\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases}$

Soit $(\mathcal{C}_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité $2\,cm$).

1. a) Montrer que $f_n$ est continue à droite au point $0$ (poser $x=t^n$).
b) Étudier la dérivabilité de $f_n$ à droite au point $0$.
c) Calculer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_1(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_2(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f_1(x)}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f_2(x)}{x}$.

2. a) Étudier les variations de $f_1$.
b) Étudier les variations de $f_2$.

3. a) Étudier la position relative des courbes $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$.
b) Construire les courbes $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$. (On admet que le point $A(1;1)$ est un point d'inflexion pour la courbe $(\mathcal{C}_2)$.)

Partie II : On considère la fonction $F$ définie sur $]-\infty;0]$ par : $F(x)=\displaystyle\int_{e^x}^{1}\dfrac{f_1(t)}{1+t^2}\,dt$.

1. a) Montrer que $F$ est dérivable sur $]-\infty;0]$ et que : $(\forall x\lt 0)\ F'(x)=\dfrac{(x-1)e^{2x}}{1+e^{2x}}$.
b) En déduire le sens de variations de $F$ sur $]-\infty;0]$.

2. a) Montrer que : $(\forall x\lt 0)\ :\ \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{e^x}^{1}f_1(t)\,dt\leq F(x)\leq\dfrac{1}{1+e^{2x}}\displaystyle\int_{e^x}^{1}f_1(t)\,dt$.
b) Vérifier que $x\mapsto x^2\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{\ln(x)}{2}\right)$ est une primitive de $f_1$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
c) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\int_{e^x}^{1}f_1(t)\,dt=\dfrac{3}{4}$.

3. On suppose que $F$ admet une limite finie $L$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
Montrer que $\dfrac{3}{8}\leq L\leq\dfrac{3}{4}$.

Partie III : Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $U_n=\displaystyle\int_{1}^{e}f_n(x)\,dx$.

1. a) Montrer que : $(\forall n\geq1)\ ;\ U_n\geq0$.
b) Déterminer le signe de $f_{n+1}(x)-f_n(x)$ sur l'intervalle $[1;e]$.
c) Montrer que : $(\forall n\geq1)\ ;\ U_{n+1}\leq U_n$.
d) En déduire que la suite $(U_n)_{n\geq1}$ est convergente.

2. a) Montrer que : $(\forall n\geq1)\ ;\ U_{n+1}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{n+1}{2}U_n$.
b) En déduire en $cm^2$ l'aire du domaine délimité par les deux courbes $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.

3. a) Montrer que : $(\forall n\geq2)\ ;\ \dfrac{1}{n+1}\leq U_n\leq\dfrac{1}{n-1}$.
b) Calculer les limites $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nU_n$.

4. Soit $a$ un nombre réel différent de $U_1$.
On considère la suite numérique $(V_n)_{n\geq1}$ définie par : $\begin{cases} V_1=a \\ V_{n+1}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{n+1}{2}V_n & (\forall n\geq1) \end{cases}$ et pour tout entier naturel $n$ non nul on pose : $d_n=|V_n-U_n|$.

a) Montrer que : $(\forall n\geq1)\ :\ d_n=\dfrac{n!}{2^{n-1}}d_1$.
b) Montrer que : $(\forall n\geq2)\ :\ \dfrac{n!}{2}\geq3^{n-2}$.
c) Montrer que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}d_n=+\infty$.
d) En déduire que la suite $(V_n)_{n\geq1}$ est divergente.