Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2009 (Rattrapage)

Exercice 1 (3 points)

On rappelle que $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$ est un anneau unitaire non commutatif et non intègre dont le zéro est la matrice nulle $0$ et dont l'unité est la matrice identique $I_2$ et que $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\cdot)$ est un espace vectoriel réel.

On pose pour tous réels $a$ et $b$ : $M_{(a,b)}=\begin{pmatrix} a & b \\ 4b & a \end{pmatrix}$, et soit $V=\big\{M_{(a,b)}\ /\ (a,b)\in\mathbb{R}^2\big\}$.

1) Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel réel de l'espace vectoriel réel $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\cdot)$ et déterminer une base de $V$.

2) a) Montrer que l'ensemble $V$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$.

b) Montrer que $(V;+;\times)$ est un anneau commutatif unitaire.

3) a) Calculer $M\!\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\times M\!\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{4}\right)$.

b) L'anneau $(V;+;\times)$ est-il un corps ?

4) Soit $X$ une matrice de l'ensemble $V$ telle que : $X=\begin{pmatrix} a & b \\ 4b & a \end{pmatrix}$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.

a) Montrer que $X^2-2aX+(a^2-4b^2)I_2=0$.

b) On suppose que $a^2-4b^2\neq 0$.
Montrer que la matrice $X$ admet un inverse dans $V$ qu'on déterminera.

Exercice 2 (4 points)

Soit $u$ un nombre complexe différent de $(1-i)$.

1) a) Développer $(iu-1-i)^2$.

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E):\ z^2-2(u+1-i)z+2u^2-4i=0.$

2) Le plan complexe $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$.
Soient les points $A((1+i)u-2i)$, $B((1-i)u+2)$, $U(u)$ et $\Omega(2-2i)$.

a) Déterminer l'affixe du point $I$ le milieu du segment $[AB]$, puis déterminer le vecteur de la translation $t$ qui transforme $U$ en point $I$.

b) Soit $R$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.
Montrer que $R(A)=B$.

c) En déduire que les droites $(\Omega I)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.

3) On pose $u=(1+i)a-2i$ tel que $a\in\mathbb{R}$.

a) Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AU}$ en fonction de $a$.

b) En déduire que les points $A$, $B$ et $U$ sont alignés.

Exercice 3 (3 points)

$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $4$.
On a trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$. L'urne $U_1$ contient une boule rouge et $(n-1)$ boules noires. L'urne $U_2$ contient $2$ boules rouges et $(n-2)$ boules noires. L'urne $U_3$ contient $3$ boules rouges et $(n-3)$ boules noires.

On considère l'expérience aléatoire suivante : on choisit aléatoirement une urne parmi les trois urnes précédentes, puis on en tire simultanément deux boules.
Soit $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules rouges tirées.

1) Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$.

2) a) Montrer que $P[X=2]=\dfrac{8}{3n(n-1)}.$

b) Montrer que $P[X=1]=\dfrac{4(3n-7)}{3n(n-1)}.$

c) En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

3) Sachant que les deux boules tirées sont rouges, quelle est la probabilité pour qu'elles proviennent de l'urne $U_3$ ?

Exercice 4 (10 points)

Partie I

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $g(x)=2(1-e^{-x})-x.$

1) a) Étudier les variations de la fonction $g$.

b) Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.

2) a) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ de l'intervalle $]\ln(4);\ln(6)[$. (On prend $\ln(4)\approx 0{,}7$ et $\ln(3)\approx 1{,}1$.)

b) Étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}^{+}$.

3) On considère la suite numérique $(U_n)_{n\geq 0}$ définie par : $\begin{cases} U_{n+1}=2\left(1-e^{-U_n}\right) \\ U_0=1 \end{cases}\ (\forall n\in\mathbb{N}).$

a) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ 1\leqslant U_n\lt\alpha.$

b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ U_{n+1}-U_n=g(U_n).$

c) Montrer que la suite numérique $(U_n)_{n\geq 0}$ est strictement croissante.

d) Montrer que la suite numérique $(U_n)_{n\geq 0}$ est convergente et calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n.$

Partie II

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}_{+}$ par : $f(x)=\dfrac{1-e^{x}}{x^{2}}$ et soit $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right).$

1) Calculer les limites : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

2) a) Vérifier que : $f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha(\alpha-2)}.$

b) Montrer que : $f'(x)=\dfrac{g(x)\,e^{x}}{x^{3}}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{*}_{+}$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

3) Tracer la courbe $(\mathcal{C}_f)$. (On prend $\alpha\approx 1{,}5$.)

Partie III

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : $\begin{cases} F(x)=\displaystyle\int_{x}^{2x}\dfrac{1-e^{t}}{t^{2}}\,dt\ ;\ (\forall x\gt 0) \\ F(0)=-\ln(2) \end{cases}$

1) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall x\gt 0)\ F(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{2x}-\dfrac{e^{x}-1}{x}-\displaystyle\int_{x}^{2x}\dfrac{e^{t}}{t}\,dt.$

b) Montrer que pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ : $e^{x}\ln(2)\leqslant\displaystyle\int_{x}^{2x}\dfrac{e^{t}}{t}\,dt\leqslant e^{2x}\ln(2).$

c) Calculer la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\int_{x}^{2x}\dfrac{e^{t}}{t}\,dt$ puis en déduire que $F$ est continue à droite au point $0$.

2) a) Montrer que pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ : $F(x)\leqslant\dfrac{1-e^{x}}{2x}.$

b) Calculer la limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x).$

3) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que : $(\forall x\gt 0)\ ;\ F'(x)=-\dfrac12\left(\dfrac{e^{x}-1}{x}\right)^{2}.$

4) a) Soit $x$ un réel de l'intervalle $]0;+\infty[$.
Montrer qu'il existe un réel $c$ de l'intervalle $]0;x[$ tel que : $F(x)-F(0)=-\dfrac12\,x\,e^{2c}.$ (Utiliser le théorème des accroissements finis deux fois.)

b) Démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ : $-\dfrac12 e^{2x}\leqslant\dfrac{F(x)-F(0)}{x}\leqslant-\dfrac12.$

c) En déduire que la fonction $F$ est dérivable à droite au point $0$ et que : $F'_d(0)=-\dfrac12.$