Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2010 (Normale)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths (A & B), session normale 2010. Énoncé + corrigé détaillé.
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I :
On munit l'ensemble $I=]0;+\infty[$ de la loi de composition interne $*$ définie par :
$$(\forall (a;b)\in I\times I)\quad a*b=a^{\ln(a)\,\ln(b)}$$
1) Montrer que la loi $*$ est commutative et associative sur $I$.
2) Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre $\varepsilon$ dans $I$ à déterminer.
3) a) Montrer que $(I\setminus\{1\},*)$ est un groupe commutatif, ($(I\setminus\{1\})$ désigne l'ensemble $I$ privé de $1$).
b) Montrer que $J=]1;+\infty[$ est un sous-groupe de $(I\setminus\{1\},*)$.
4) On munit $I$ de la loi de composition interne $\times$ ($\times$ est la multiplication dans $\mathbb{R}$).
a) Montrer que la loi $*$ est distributive par rapport à la loi $\times$.
b) Montrer que $(I,\times,*)$ est un corps commutatif.
Partie II :
On considère la matrice : $A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\-1&-1&2\\-2&-2&0\end{pmatrix}$
1) Calculer $A^2$ et $A^3$.
2) En déduire que la matrice $A$ n'est pas inversible.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
1) a) Déterminer les deux racines carrées du nombre complexe $3+4i$.
b) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E):\ 4z^2-10iz-7-i=0$.
2) Soient $a$ et $b$ les solutions de l'équation $(E)$ avec $\operatorname{Re}(a)\lt 0$ et les deux points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$ dans le plan complexe.
a) Vérifier que $\dfrac{b}{a}=1-i$.
b) En déduire que le triangle $AOB$ est rectangle et isocèle en $A$.
3) Soient $C$ un point d'affixe $c$ différent du point $A$, $D$ l'image du point $B$ par la rotation de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, et soit $L$ l'image du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AO}$.
a) Déterminer en fonction de $c$ le complexe $d$ l'affixe du point $D$.
b) Déterminer en fonction de $c$ le complexe $l$ l'affixe du point $L$.
c) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{l-c}{a-c}$ puis en déduire la nature du triangle $ACL$.
1) Déterminer tous les nombres entiers naturels $m$ tels que : $m^2+1\equiv 0\ [5]$.
2) Soit $p$ un nombre premier tel que $p=3+4k$ où $k$ est un entier naturel, et soit $n$ un entier naturel tel que $n^2+1\equiv 0\ [p]$.
a) Vérifier que $\big(n^2\big)^{1+2k}\equiv -1\ [p]$.
b) Montrer que $n$ et $p$ sont premiers entre eux.
c) En déduire que $\big(n^2\big)^{2k+1}\equiv 1\ [p]$.
d) Déduire de ce qui précède qu'il n'existe aucun entier naturel $n$ vérifiant $n^2+1\equiv 0\ [p]$.
Partie I :
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x)=4xe^{-x^2}$.
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
1) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
2) Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$ puis dresser son tableau de variations.
3) Déterminer l'équation de la demi-tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ à l'origine du repère puis construire la courbe $(\mathcal{C})$. (on prend $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2$ cm. Et on admet que le point d'abscisse $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ est un point d'inflexion de $(\mathcal{C})$).
4) Calculer l'intégrale $a=\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ puis en déduire en cm$^2$ l'aire de la partie plane limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, les deux axes du repère et la droite d'équation $x=1$.
Partie II :
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : $f_n(x)=4x^ne^{-x^2}$.
1) a) Montrer que : $(\forall x\gt 1)\ e^{-x^2}\lt e^{-x}$.
b) En déduire la limite de la fonction $f_n$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
2) Étudier les variations de la fonction $f_n$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$ puis dresser son tableau de variations.
3) Montrer qu'il existe un nombre réel unique $u_n$ de l'intervalle $]0;1]$ tel que $f_n(u_n)=1$.
4) a) Vérifier que $(\forall n\geq 2)\ f_{n+1}(u_n)=u_n$.
b) Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 2}$ est strictement croissante puis en déduire qu'elle est convergente.
5) On pose $l=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.
a) Montrer que $0\lt l\leq 1$.
b) Montrer que $(\forall n\geq 2)\ -\dfrac{\ln(4)}{n}\lt\ln(u_n)\lt\dfrac{1}{n}-\dfrac{\ln(4)}{n}$.
c) En déduire que $l=1$.
On considère la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $F(x)=\displaystyle\int_x^{2x}\frac{1}{\ln(1+t^2)}\,dt$.
1) Montrer que $F$ est impaire.
2) Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$, on pose $\varphi(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{1}{\ln(1+t^2)}\,dt$.
a) Vérifier que $(\forall x\gt 0)\ F(x)=\varphi(2x)-\varphi(x)$.
b) Montrer que $F$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ puis calculer $F'(x)$ pour $x\gt 0$.
c) En déduire le sens de variations de la fonction $F$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
3) a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : $$(\forall x\gt 0)(\exists c\in\,]x;2x[)\ :\ F(x)=\frac{x}{\ln(1+c^2)}.$$
b) En déduire que $(\forall x\gt 0)$ : $\dfrac{x}{\ln(1+4x^2)}\lt F(x)\lt\dfrac{x}{\ln(1+x^2)}$.
c) Déterminer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}$.
d) Vérifier que $F\big(\sqrt{e-1}\big)\lt\sqrt{e-1}$ et $F\!\left(\dfrac{\sqrt{e-1}}{2}\right)\gt\dfrac{\sqrt{e-1}}{2}$. Puis déduire que l'équation $F(x)=x$ admet une solution unique dans $]0;+\infty[$.