Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2011 (Normale)

Exercice 1 (Les deux parties sont indépendantes)

Partie I : Dans l'anneau $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ on considère les deux matrices :

$I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $A=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(On pose : $A^0=I$, $A^1=A$, $A^2=A\times A$, $A^{n+1}=A^n\times A$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.)

1. Montrer que : $(\forall k\in\mathbb{N})\ ;\ A^{2k}=I$.

2. Montrer que $A$ admet une matrice inverse $A^{-1}$ que l'on déterminera.

Partie II : Soit $a$ un nombre réel. Pour tout $x$ et $y$ de l'intervalle $I=\,]a;+\infty[$ on pose : $x*y=(x-a)(y-a)+a$.

1.a) Montrer que $*$ est une loi de composition interne dans $I$.

1.b) Montrer que $*$ est une loi commutative et associative.

1.c) Montrer que $(I,*)$ admet un élément neutre que l'on déterminera.

2. Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif.

3. On considère l'application $\phi:I\longrightarrow\mathbb{R}_+^*$ définie par $\phi(x)=\dfrac{1}{x-a}$.

3.a) Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $(I,*)$ vers $(\mathbb{R}_+^*,\times)$.

3.b) Résoudre dans l'ensemble $I$ l'équation : $x^{(3)}=a^3+a$ où $x^{(3)}=x*x*x$.

Exercice 2

Soit $N$ l'entier naturel dont l'écriture dans la base décimale est : $N=\underbrace{11\ldots\ldots 1}_{2010\text{ fois }1}$ (composé de $2010$ chiffres égaux à $1$).

1. Montrer que le nombre $N$ est divisible par $11$.

2.a) Vérifier que le nombre $2011$ est premier et que : $10^{2010}-1=9N$.

2.b) Montrer que le nombre $2011$ divise le nombre $9N$.

2.c) En déduire que le nombre $2011$ divise le nombre $N$.

3. Montrer que le nombre $N$ est divisible par $22121$.

Exercice 3

Première Partie : Soit $m$ un nombre complexe non nul.
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnu $z$ :

$(E_m)\ :\ z^2+\big[(1-i)m-4\big]z-im^2-2(1-i)m+4=0$.

1. Vérifier que le nombre $z_1=-m+2$ est solution de l'équation $(E_m)$.

2. Soit $z_2$ la deuxième solution de l'équation $(E_m)$.

2.a) Montrer que : $z_1\cdot z_2=1\iff im^2+2(1-i)m-3=0$.

2.b) Déterminer les deux valeurs de $m$ pour lesquelles on a : $z_1\cdot z_2=1$.

Deuxième Partie : Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère l'application $S$ qui au point $M$, d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z'-1=-(z-1)$, et la rotation $R$ de centre le point $\Omega$ d'affixe $(1+i)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; soit $z''$ l'affixe du point $M''=R(M)$.

1.a) Montrer que l'application $S$ est la symétrie centrale de centre le point d'affixe $1$.

1.b) Montrer que : $z''=iz+2$.

2. Soit $A$ le point d'affixe $2$.
On suppose que le point $M$ est distinct du point $O$ origine du repère.

2.a) Calculer $\dfrac{z''-2}{z'-2}$, en déduire la nature du triangle $AM'M''$.

2.b) Déterminer l'ensemble des points $M$ pour lesquels les points $A$, $\Omega$, $M'$ et $M''$ sont cocycliques.

Exercice 4

Première Partie : Étude des solutions positives de l'équation $(E):e^x=x^n$ avec $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'ensemble $D=[0;1[\,\cup\,]1;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{x}{\ln x}$ si $x\ne0$ et $f(0)=0$, et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Vérifier que pour tout $x$ de l'ensemble $D=[0;1[\,\cup\,]1;+\infty[$ on a : $e^x=x^n\iff n=f(x)$.

2. Montrer que la fonction $f$ est dérivable à droite en $0$.

3. Calculer les limites $\displaystyle\lim_{\substack{x\to1 \\ x\lt1}}f(x)$, $\displaystyle\lim_{\substack{x\to1 \\ x\gt1}}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$, ensuite interpréter graphiquement les résultats obtenus.

4. Étudier les variations de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $[0;1[$ et $]1;+\infty[$, puis donner son tableau de variations.

5. Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.

6. Représenter graphiquement $(\mathcal{C})$.

7. Montrer que pour $n\ge3$, l'équation $(E)$ admet exactement deux solutions $a_n$ et $b_n$ tel que : $1\lt a_n\lt e\lt b_n$.

Deuxième Partie : Étude des deux suites $(a_n)_{n\ge3}$ et $(b_n)_{n\ge3}$.

1. Montrer que : $(\forall n\ge3)\ ;\ b_n\ge n$, en déduire la limite de la suite $(b_n)_{n\ge3}$.

2.a) Montrer que la suite $(a_n)_{n\ge3}$ est décroissante, en déduire qu'elle est convergente.

2.b) Montrer que : $(\forall n\ge3)\ ;\ \dfrac{1}{n}\lt\ln(a_n)\lt\dfrac{e}{n}$.

2.c) Montrer que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n^{\,n}=e$.

Exercice 5

On considère la fonction numérique $F$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : $F(x)=e^{-x^2}\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$.

1.a) Montrer que : $(\forall x\ge0)\ ;\ 0\le F(x)\le x\,e^{-x^2}$.

1.b) Montrer que : $(\forall x\ge1)\ ;\ e^{-x^2}\le e^{-x}$, en déduire la limite de la fonction $F$ en $+\infty$.

2. Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty[$ et que : $(\forall x\ge0)\ \ F'(x)=e^{-2x^2}-2x\,F(x)$.

3. On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : $\begin{cases} G(x)=F(\tan x) & \text{si } 0\lt x\lt\frac{\pi}{2} \\ G\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \end{cases}$

3.a) Montrer que la fonction $G$ est continue à gauche en $\dfrac{\pi}{2}$.

3.b) Montrer qu'il existe un réel $c$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ tel que : $F'(c)=0$ et que $F(c)=\dfrac{e^{-2c^2}}{2c}$. (On pourra appliquer le théorème de Rolle à la fonction $G$ sur l'intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.)

4. On considère la fonction numérique $H$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $H(x)=F'(x)\dfrac{e^{x^2}}{2x}$.

4.a) Montrer que la fonction $H$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.

4.b) En déduire que $c$ est unique, puis donner le tableau de variations de $F$.