Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2011 (Rattrapage)

Exercice 1 (Structures algébriques)

Soit $x$ et $y$ deux nombres de l'intervalle $I=\left]0,1\right[$, on pose $x*y=\dfrac{xy}{xy+(1-x)(1-y)}$.

1) a) Montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $I$.

b) Montrer que la loi $*$ est commutative et associative.

c) Montrer que $(I,*)$ admet un élément neutre à déterminer.

2) Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif.

3) On considère les deux ensembles suivants : $\mathbb{H}=\{2^n\,/\,n\in\mathbb{Z}\}$ et $\mathbb{K}=\left\{\dfrac{1}{2^n+1}\,/\,n\in\mathbb{Z}\right\}$.

a) Montrer que $\mathbb{H}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}_+^{*},\times)$.

b) On considère l'application $\varphi$ définie par : $\varphi:\mathbb{H}\longrightarrow I$, $\;x\longmapsto \dfrac{1}{x+1}$.
Montrer que l'application $\varphi$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{H},\times)$ dans $(I,*)$.

c) Déduire que $(\mathbb{K},*)$ est un sous-groupe du groupe $(I,*)$.

Exercice 2 (Arithmétique)

Soit $x$ un nombre entier naturel vérifiant $10^{x}\equiv 2\;[19]$.

1) a) Vérifier que : $10^{x+1}\equiv 1\;[19]$.

b) Montrer que : $10^{18}\equiv 1\;[19]$.

2) Soit $d$ le pgcd des nombres $18$ et $x+1$.

a) Montrer que : $10^{d}\equiv 1\;[19]$.

b) Montrer que : $d=18$.

c) Déduire que : $x\equiv 17\;[18]$.

Exercice 3 (Nombres complexes)

Partie I : On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^{3}-(1+2i)z^{2}+3(1+i)z-10(1+i)=0$.

1) Vérifier que $-2i$ est une solution de l'équation $(E)$.

2) Déterminer les deux nombres complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que : $\forall z\in\mathbb{C},\; z^{3}-(1+2i)z^{2}+3(1+i)z-10(1+i)=(z+2i)(z^{2}+\alpha z+\beta)$.

3) a) Déterminer les deux racines carrées du nombre $5-12i$.

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.

Partie II : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectifs $a=-1+3i$, $b=-2i$ et $c=2+i$.

1) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $C$.

2) On considère la rotation $\mathcal{R}_1$ de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la rotation $\mathcal{R}_2$ de centre $A$ et d'angle $\dfrac{-2\pi}{3}$. $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ et $M_1$ son image par la rotation $\mathcal{R}_1$ et $M_2$ son image par la rotation $\mathcal{R}_2$.

a) Vérifier que l'écriture complexe de la rotation $\mathcal{R}_1$ est $z'=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)z-\sqrt{3}-i$.

b) Déterminer $z_2$ l'affixe de $M_2$ en fonction de $z$.

c) Déduire que le point $I$, le milieu du segment $[M_1M_2]$, est un point fixe.

Exercice 4 (Analyse : étude de fonction et suite)

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty\right[$ par $f(x)=x+\ln(x)$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. (On prend $\lVert\vec{i}\rVert=\lVert\vec{j}\rVert=1\text{ cm}$.)

1) Calculer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(f(x)-x)$.

2) a) Donner le tableau de variation de la fonction $f$.

b) Montrer que $f$ est une bijection de l'intervalle $\left]0;+\infty\right[$ vers un intervalle $J$ à déterminer, puis donner le tableau de variation de la bijection réciproque $f^{-1}$.

3) Calculer $f(1)$ et $f(e)$ puis construire $(C)$ et $(C')$ la courbe représentative de la fonction $f^{-1}$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

4) a) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^{1+e}f^{-1}(x)\,\mathrm{d}x$. (On peut poser $t=f^{-1}(x)$.)

b) Déduire l'aire du domaine plan limité par $(C^{-1})$ et les droites $x=1$, $x=e+1$ et $y=x$.

5) Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'équation $(E_n)$ : $x+\ln x=n$.

a) Montrer que l'équation $(E_n)$ admet une unique solution $x_n$.

b) Déterminer la valeur de $x_1$ puis montrer que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n=+\infty$.

6) a) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})$ : $f(x_n)\le f(n)$ puis déduire que $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})$ : $x_n\le n$.

b) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})$ : $n-\ln n\le x_n$.

c) Calculer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{x_n-n}{n}\right)$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{x_n}{n-\ln n}\right)$.

Exercice 5 (Suites et intégrales)

Soient $n$ un entier non nul et $f_n$ une fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x)=-1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\cdots+\dfrac{x^{n}}{n}$.

1) Montrer que pour $n\ge 2$, il existe un unique réel $\alpha_n$ de l'intervalle $\left]0;1\right]$ tel que $f_n(\alpha_n)=0$.

2) Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n\ge 2}$ est strictement décroissante et déduire qu'elle est convergente.

3) a) Vérifier que pour $t\neq 1$, on a : $1+t+t^{2}+\cdots+t^{n-1}=\dfrac{1}{1-t}-\dfrac{t^{n}}{1-t}$.

b) Déduire que $\alpha_n+\dfrac{(\alpha_n)^{2}}{2}+\dfrac{(\alpha_n)^{3}}{3}+\cdots+\dfrac{(\alpha_n)^{n}}{n}=-\ln(1-\alpha_n)-\displaystyle\int_{0}^{\alpha_n}\dfrac{t^{n}}{1-t}\,\mathrm{d}t$.

4) a) Montrer que $(\forall n\ge 2)$ : $1+\ln(1-\alpha_n)=-\displaystyle\int_{0}^{\alpha_n}\dfrac{t^{n}}{1-t}\,\mathrm{d}t$.

b) Montrer que $(\forall n\ge 2)$ : $0\le \displaystyle\int_{0}^{\alpha_n}\dfrac{t^{n}}{1-t}\,\mathrm{d}t\le \dfrac{1}{(n+1)(1-\alpha_n)}$.

c) En déduire que $l=1-e^{-1}$, où $l=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\alpha_n$.