Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2012 (Normale)

Exercice 1 (les parties I et II sont indépendantes)

I — Dans l'anneau unitaire $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$, on considère les deux matrices :

$A=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. Calculer $I-A$ et $A^2$.

2. En déduire que $A$ admet une matrice inverse que l'on déterminera.

II — Pour tout $a$ et $b$ de l'intervalle $I=\,]1,+\infty[$, on pose $a*b=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+2}$.

1. Vérifier que $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2$ : $\ x^2y^2-x^2-y^2+2=(x^2-1)(y^2-1)+1$.

2. Montrer que $*$ est une loi de composition interne dans $I$.

3. On rappelle que $(\mathbb{R}^{*+},\times)$ est un groupe commutatif.
On considère l'application $\varphi : \mathbb{R}^{*+}\longrightarrow I$ définie par $\varphi(x)=\sqrt{x+1}$.

a) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}^{*+},\times)$ vers $(I,*)$.

b) En déduire la structure de $(I,*)$.

c) Montrer que l'ensemble $\Gamma=\{\sqrt{1+2^m}\,/\,m\in\mathbb{R}\}$ (avec $m\in\mathbb{Z}$) est un sous-groupe de $(I,*)$.

Exercice 2 (les parties I et II sont indépendantes)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec u,\vec v)$.

I — Soit $a$ un nombre complexe non nul ; on considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$(E):\ iz^2+(2-i)az-(1+i)a^2=0$

1. Déterminer $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation $(E)$.

2. a) Vérifier que $z_1z_2=a^2(i-1)$.

b) Montrer que : $z_1z_2$ est un nombre réel $\iff \arg a\equiv \dfrac{-3\pi}{8}\ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]$.

II — Soient $c$ un nombre réel non nul et $z$ un nombre complexe non nul.
On considère les points $A,B,C,D$ et $M$ d'affixes respectives $1$, $1+i$, $c$, $ic$ et $z$.

1. a) Montrer que $A,D$ et $M$ sont alignés $\iff (ic+1)z+(ic-1)\bar z=2ic$ (remarquer que $c=\bar c$).

b) Montrer que : $(AD)\perp(OM)\iff (ic+1)z-(ic-1)\bar z=0$.

2. Soit $h$ l'affixe du point $H$, le projeté orthogonal du point $O$ sur $(AD)$.

a) Montrer que : $h-(1+i)=\dfrac{i}{c}(h-c)$.

b) En déduire que $(CH)\perp(BH)$.

Exercice 3

1. On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $(E):143x-195y=52$.

a) Déterminer le plus grand diviseur commun de $143$ et $195$, puis déduire que l'équation $(E)$ admet des solutions dans $\mathbb{Z}^2$.

b) Sachant que $(-1;-1)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$, résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $(E)$ en précisant les étapes de la résolution.

2. Soit $n$ un entier naturel non nul premier avec $5$.
Montrer que pour tout $k$ de $\mathbb{N}$, on a $n^{4k}\equiv 1\,[5]$.

3. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels non nuls tel que $x\equiv y\,[4]$.

a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a : $n^x\equiv n^y\,[5]$.

b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a : $n^x\equiv n^y\,[10]$.

4. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tel que $(x,y)$ est solution de l'équation $(E)$.
Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, les deux nombres $n^x$ et $n^y$ ont le même chiffre des unités dans l'écriture dans le système décimal.

Exercice 4

$n$ est un entier naturel non nul.
On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x)=x+\dfrac{e^{-x}}{n}$.
Soit $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_n(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)$.

2. a) Étudier la branche infinie de $(C_n)$ au voisinage de $-\infty$.

b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_n)$ au voisinage de $+\infty$, puis déterminer la position relative de $(C_n)$ et $(D)$.

3. Étudier les variations de $f_n$ et dresser son tableau de variations.

4. Construire la courbe $(C_3)$. (On prend $f_3(-0,6)\simeq 0$ et $f_3(-1,5)\simeq 0$ et $\ln 3\simeq 1,1$.)

5. a) Montrer que pour $n\ge 3$ on a : $\dfrac{e}{n}\lt \ln n$.

b) Montrer que pour $n\ge 3$ l'équation $f_n(x)=0$ admet exactement deux solutions $x_n$ et $y_n$ telles que $x_n\le -\ln n$ et $\dfrac{-e}{n}\le y_n\le 0$.

c) Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}y_n$.

6. On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $g(x)=-1-x\ln x$ pour $x\gt 0$ et $g(0)=-1$.

a) Montrer que la fonction $g$ est continue à droite au point $0$.

b) Vérifier que pour $n\ge 3$ on a : $g\!\left(\dfrac{-1}{x_n}\right)=\dfrac{\ln n}{x_n}$.

c) En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln n}{x_n}$.

Exercice 5

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $[0;1]$ par : $F(0)=1$ et $F(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln(1+2x)}{2x^2}$ si $x\gt 0$.

1. Soit $x$ un élément de $[0;1]$, montrer que pour tout $t$ de $[0;x]$ on a : $\dfrac{1}{1+2x}\le \dfrac{1}{1+2t}\le 1$.

2. Soit $x$ un élément de $]0;1]$.

a) Montrer que $F(x)=\dfrac{2}{x^2}\displaystyle\int_0^x \dfrac{t}{1+2t}\,dt$.

b) Montrer que $\dfrac{1}{1+2x}\le F(x)\le 1$, et en déduire que $F$ est continue à droite en $0$.

3. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $x$ de $[0;1]$ on a : $\displaystyle\int_0^x \dfrac{2t}{1+2t}\,dt=\dfrac{x^2}{1+2x}+2\displaystyle\int_0^x \left(\dfrac{t}{1+2t}\right)^2 dt$.

4. Soit $x$ un élément de $]0;1]$.

a) Montrer que $F'(x)=-\dfrac{4}{x^3}\displaystyle\int_0^x \left(\dfrac{t}{1+2t}\right)^2 dt$.

b) Montrer que $\dfrac{-4}{3}\le F'(x)\le \dfrac{-4}{3(1+2x)^2}$ (on pourra utiliser le résultat de la question 1).

c) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $F$ sur $[0;x]$ montrer que $\dfrac{-4}{3}\le \dfrac{F(x)-F(0)}{x}\le \dfrac{-4}{3(1+2x)^2}$.

d) Déduire que la fonction $F$ est dérivable à droite en $0$ en précisant son nombre dérivé à droite au point $0$.