Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2012 (Rattrapage)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths (A & B), session de rattrapage 2012. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1 — Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I :
Pour tous $a$ et $b$ de l'intervalle $I=[1\,;\,+\infty[$, on pose : $a \perp b = (\sqrt{a}+\sqrt{b}-1)^2$.
1) Montrer que $\perp$ est une loi de composition interne sur $I$.
2) Montrer que la loi $\perp$ est commutative et associative.
3) Montrer que $\perp$ admet un élément neutre à déterminer.
Partie II :
On rappelle que $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire.
Soit $E=\left\{M(x)=\begin{pmatrix} x & 2(x-1)\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \,/\, x\in\mathbb{R}^*\right\}$.
1) Montrer que $E$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),\times)$.
2) On considère l'application $\varphi$ définie par : $\varphi : \mathbb{R}^* \longrightarrow E$, $x \longmapsto M(x)$.
a) Montrer que l'application $\varphi$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}^*,\times)$ dans $(E,\times)$.
b) En déduire la structure de $(E,\times)$.
c) Montrer que l'ensemble $H=\left\{\begin{pmatrix} 2^n & 2^{n+1}-2\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \,/\, n\in\mathbb{Z}\right\}$ est un sous-groupe de $(E,\times)$.
Exercice 2 — Les parties I et II sont indépendantes.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
Partie I :
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E):\ z^2-4\left(1+\dfrac{2}{3}i\right)z+\dfrac{5}{3}+4i=0$.
1)a) Vérifier que le nombre $z_1=1+\dfrac{2}{3}i$ est une solution de l'équation $(E)$.
b) Montrer que la deuxième solution de $(E)$ est $z_2=3z_1$.
2) Soit $\theta$ l'argument du nombre complexe $z_1$. Écrire en fonction de $\theta$ la forme trigonométrique du nombre complexe $\dfrac{5}{3}+4i$.
Partie II :
On considère trois points $A$, $B$ et $\Omega$ distincts deux à deux, d'affixes respectifs $a$, $b$ et $\omega$.
Soit $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
On pose $P=r(A)$ et $B=r(Q)$ et soient $p$ et $q$ les affixes respectifs de $P$ et $Q$.
1)a) Montrer que : $p=\omega+e^{\frac{i\pi}{3}}(a-\omega)$ et $q=\omega+e^{\frac{-i\pi}{3}}(b-\omega)$.
b) Montrer que : $\dfrac{1-e^{\frac{i\pi}{3}}}{1-e^{\frac{-i\pi}{3}}}=e^{\frac{4i\pi}{3}}$.
c) Montrer que : $\dfrac{p-a}{q-b}=\left(\dfrac{\omega-a}{\omega-b}\right)e^{\frac{4i\pi}{3}}$.
2) On suppose que : $\left(\dfrac{\omega-a}{\omega-b}\right)=e^{\frac{2i\pi}{3}}$.
a) Montrer que $APQB$ est un parallélogramme.
b) Montrer que $\arg\left(\dfrac{b-a}{p-a}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ et déduire que le quadrilatère $APQB$ est un rectangle.
Exercice 3
1)a) Vérifier que $503$ est un nombre premier.
b) Montrer que $7^{502}\equiv 1\ [503]$ puis déduire que $7^{2008}\equiv 1\ [503]$.
2) On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $(E):\ 49x-6y=1$. Sachant que $(1,8)$ est une solution particulière de $(E)$, résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $(E)$ en précisant les étapes de la résolution.
3) On pose $N=1+7+7^2+\cdots+7^{2007}$.
a) Montrer que le couple $(7^{2006},N)$ est solution de l'équation $(E)$.
b) Montrer que $N\equiv 0\ [4]$ et $N\equiv 0\ [503]$.
c) Déduire que $N$ est divisible par $2012$.
Exercice 4
Partie I :
Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : $g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}$.
1) Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
2) Déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
Partie II :
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=e^x\ln(1+e^{-x})$.
1) Montrer que : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.
2) Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a : $f'(x)=e^x g(e^{-x})$.
3) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
4) Construire $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $(\mathcal{C}')$ la courbe représentative de la fonction $(-f)$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. (On admet que $-0{,}7$ est une valeur approchée de l'abscisse du seul point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C})$.)
5) Montrer que pour tout $x$ de $]-1;0[$, on a : $0\lt f'(x)\lt g(x)$.
6) Montrer que l'équation $f(x)+x=0$ admet une seule solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $-1\lt\alpha\lt 0$.
7) On considère la suite numérique $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $\begin{cases} u_{n+1}=-f(u_n)\\ u_0=0 \end{cases}\ ;\ \forall n\in\mathbb{N}$.
a) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N});\ -1\leqslant u_n\leqslant 0$.
b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N});\ |u_{n+1}-\alpha|\leqslant g(e)\,|u_n-\alpha|$.
c) Déduire que : $(\forall n\in\mathbb{N});\ |u_n-\alpha|\leqslant (g(e))^n$.
d) Sachant que $g(e)\lt 0{,}6$, calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$.
Exercice 5
On considère la fonction numérique $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $F(x)=\displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{x}\left(\dfrac{\ln t}{1+t^2}\right)\,dt$.
1) Calculer $F(1)$.
2)a) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et calculer $F'(x)$.
b) Déduire que pour tout $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$, $F(x)=0$.
3) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ : $F(x)=\left(\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}\right)\ln x-\displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{x}\dfrac{\arctan t}{t}\,dt$.
4) Montrer que $(\forall x\gt 0);\ \arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}-\arctan x$.
5) Déduire que $(\forall x\gt 0);\ \ln x=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{x}\dfrac{\arctan t}{t}\,dt$.