Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2013 (Normale)

Exercice 1 (3,5 pts)

On rappelle que $(\mathbb{Z},+,\times)$ est un anneau unitaire commutatif et intègre.

1. On munit $\mathbb{Z}$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ ; $\ x*y=x+y-2$.

a) Montrer que la loi $*$ est commutative et associative.

b) Montrer que $(\mathbb{Z},*)$ admet un élément neutre à déterminer.

c) Montrer que $(\mathbb{Z},*)$ est un groupe commutatif.

2. On munit $\mathbb{Z}$ de la loi de composition interne $\top$ définie par : $\left(\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2\right)$ ; $\ x\top y=xy-2x-2y+6$.

On considère l'application $f$ de $\mathbb{Z}$ vers $\mathbb{Z}$ définie par : $(\forall x\in\mathbb{Z})$ ; $f(x)=x+2$.

a) Montrer que $f$ est un morphisme bijectif de $(\mathbb{Z},\times)$ vers $(\mathbb{Z},\top)$.

b) Montrer que : $\forall(x,y,z)\in\mathbb{Z}^3$ ; $\ (x*y)\top z=(x\top z)*(y\top z)$.

3. En déduire de ce qui précède que $(\mathbb{Z},*,\top)$ est un anneau commutatif et unitaire.

4. a) Montrer que : $x\top y=2$ si et seulement si $x=2$ ou $y=2$.

b) En déduire que l'anneau $(\mathbb{Z},*,\top)$ est intègre.

c) $(\mathbb{Z},*,\top)$ est-il un corps ? (Justifier la réponse)

Exercice 2 (3,5 pts)

Partie I : Soit $a$ un nombre complexe non nul.
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ : $\ (E):2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0$.

1. Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est : $(-1+i\sqrt3)^2a^2$.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.

Partie II : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les points $A$, $B$ et $M$ d'affixes respectives $a$, $b=ae^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z$.
Soit $r$ la rotation de centre $M$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
On pose $A_1=r^{-1}(A)$ et $B_1=r^{-1}(B)$ (où $r^{-1}$ est la rotation réciproque de la rotation $r$) ; soient $a_1$ et $b_1$ les affixes respectifs de $A_1$ et $B_1$.

1. Vérifier que $OAB$ est un triangle équilatéral.

2. a) Montrer que : $a_1=\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)a+\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)z$ et $b_1=\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)a+\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)z$.

b) Montrer que $OA_1MB_1$ est un parallélogramme.

3. Supposons que : $M\neq A$ et $M\neq B$.

a) Montrer que : $\dfrac{z-b_1}{z-a_1}=-\dfrac{z-b}{z-a}\times\dfrac{a}{b}$.

b) Montrer que les points $M$, $A_1$ et $B_1$ sont alignés si et seulement si les points $M$, $O$, $A$ et $B$ sont cocycliques.

Exercice 3 (3 pts)

L'objectif de l'exercice est de rechercher les entiers naturels $n$ strictement supérieurs à $1$ qui vérifient la propriété suivante : $\ (R):3^n-2^n\equiv 0\ [n]$.

1. On suppose que $n$ vérifie la propriété $(R)$ et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$.

a) Montrer que : $3^n-2^n\equiv 0\ [p]$, en déduire que $p\geqslant 5$.

b) Montrer que : $2^{p-1}\equiv 1\ [p]$ et $3^{p-1}\equiv 1\ [p]$.

c) Montrer qu'il existe un couple $(a,b)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que : $an-b(p-1)=1$.

d) Soient $r$ et $q$ respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de $a$ par $p-1$ $\Big(a=q(p-1)+r$ avec : $0\leqslant r\lt p-1$ et $q\in\mathbb{Z}\Big)$.
Montrer qu'il existe un entier naturel $k$ tel que : $rn=1+k(p-1)$.

2. Déduire de ce qui précède qu'il n'existe pas d'entier naturel $n$ strictement supérieur à $1$ vérifiant la propriété $(R)$.

Problème (10 pts)

On considère la fonction numérique $h$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$ par : $\ h(1)=1$ et $(\forall x\gt 1)$ ; $h(x)=\dfrac{x-1}{x\ln x}$.

Partie I :

1. a) Montrer que $h$ est continue à droite en $1$.

b) Montrer que : $(\forall x\gt 1)$ ; $\ln x\lt x-1$ puis déduire que la fonction $h$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$.

2. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)$ puis dresser le tableau des variations de $h$.

b) Déduire que : $(\forall x\geqslant 1)$ ; $0\lt h(x)\leqslant 1$.

Partie II : On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$ par : $\ (\forall x\gt 1)$ ; $g(x)=\displaystyle\int_{x}^{x^2}\dfrac{1}{\sqrt{t}\,\ln t}\,dt$ et $g(1)=\ln 2$, et soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. a) Vérifier que : $(\forall x\gt 1)$ ; $\displaystyle\int_{x}^{x^2}\dfrac{1}{t\ln t}\,dt=\ln 2$.

b) Vérifier que : $(\forall x\gt 1)$ ; $g(x)-\ln 2=\displaystyle\int_{x}^{x^2}\dfrac{\sqrt{t}-1}{t\ln t}\,dt$.

c) Montrer que : $(\forall x\gt 1)$ ; $g(x)-\ln 2=\displaystyle\int_{\sqrt{x}}^{x}\dfrac{t-1}{t\ln t}\,dt$.

2. a) Montrer que $(\forall x\gt 1)$ ; $(x-\sqrt{x})\,h(x)\leqslant g(x)-\ln 2\leqslant (x-\sqrt{x})\,h(\sqrt{x})$.

b) Déduire que $g$ est dérivable à droite au point $1$.

c) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{g(x)}{x}=0$.

3. a) Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]1;+\infty[$ et que : $(\forall x\gt 1)$ ; $g'(x)=\dfrac{1}{2}h(\sqrt{x})$.

b) Déduire que $(\forall x\geqslant 1)$ ; $0\lt g'(x)\leqslant\dfrac{1}{2}$ puis dresser le tableau des variations de $g$.

c) Construire la courbe $(C)$.

Partie III :

I — 1. Montrer que la fonction $k:x\mapsto g(x)-x+1$ est une bijection de l'intervalle $[1;+\infty[$ vers l'intervalle $]-\infty;\ln 2]$.

2. Déduire qu'il existe un unique réel $\alpha$ de l'intervalle $]1;+\infty[$ tel que $1+g(\alpha)=\alpha$.

II — On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ définie par : $1\leqslant u_0\lt\alpha$ et $(\forall n\geqslant 0)$ ; $u_{n+1}=1+g(u_n)$.

1. a) Montrer que : $(\forall n\geqslant 0)$ ; $1\leqslant u_n\lt\alpha$.

b) Montrer que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ est strictement croissante.

c) Déduire que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ est convergente et que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha$.

2. a) Montrer que : $(\forall n\geqslant 0)$ ; $|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|$.

b) Montrer que : $(\forall n\geqslant 0)$ ; $|u_n-\alpha|\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n|u_0-\alpha|$.

c) Déduire une deuxième fois que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha$.