Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2013 (Rattrapage)

Exercice 1 (Les parties A et B sont indépendantes)

Partie A :

Pour tout $x$ et $y$ de l'intervalle $G=\left]1;2\right[$ on pose : $x*y=\dfrac{2(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)}{(x-1)(y-1)-(x-2)(y-2)}$.

1. Montrer que $*$ est une loi de composition interne dans $G$.

2. On rappelle que $(\mathbb{R}_+^*,\times)$ est un groupe commutatif.
On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}_+^*$ vers $G$ définie par : $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$.

a) Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}_+^*,\times)$ dans $(G,*)$.

b) En déduire que $(G,*)$ est un groupe commutatif dont on déterminera l'élément neutre.

Partie B :

On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire dont le zéro est $O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et l'unité $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, et que $(M_3(\mathbb{R}),+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel, et on pose : $A=\begin{pmatrix}0&3&2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$.

1. a) Vérifier que $A^3=O$ et en déduire que $A$ est un diviseur de zéro dans l'anneau $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$.

b) Vérifier que $(A^2-A+I)(A+I)=I$ et en déduire que la matrice $A+I$ admet un inverse dans $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ que l'on déterminera.

2. Pour tout $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$ on pose : $M(a,b)=aI+bA$ et on considère l'ensemble : $E=\left\{M(a,b)\,/\,(a,b)\in\mathbb{R}^2\right\}$.
Montrer que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel dont on déterminera une base.

Exercice 2

Une urne contient $3$ boules rouges et $4$ boules noires indiscernables au toucher.

Partie A :

On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l'urne, et on considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules noires tirées.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

2. Calculer $E(X)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Partie B :

On réalise l'expérience aléatoire suivante en trois étapes :

Étape 1 : On tire une boule de l'urne, on marque sa couleur et on la remet dans l'urne.

Étape 2 : On ajoute dans l'urne $5$ boules de même couleur que la boule tirée à l'étape 1.

Étape 3 : On tire successivement et sans remise $3$ boules de l'urne qui contient alors $12$ boules après l'étape 2.

On considère les évènements suivants : $N$ « la boule tirée à l'étape 1 est noire », $R$ « la boule tirée à l'étape 1 est rouge », $E$ « toutes les boules tirées à l'étape 3 sont noires ».

1. Montrer que $p(E\cap N)=\dfrac{12}{55}$.

2. Calculer $p(E)$.

3. Calculer la probabilité de l'évènement $R$ sachant que $E$ est réalisé.

Exercice 3

Partie A :

Soit $a$ un nombre complexe différent de $1$.
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation $(E):\ 2z^2-2(a-1)z+(a-1)^2=0$.

1. Montrer que $z_1=\dfrac{a-1}{2}(1+i)$ et $z_2=\dfrac{a-1}{2}(1-i)$ sont les deux solutions de l'équation $(E)$.

2. On prend $a=e^{i\theta}$ avec $0\lt\theta\lt\pi$.

a) Montrer que $a-1=2\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)}$.

b) En déduire la forme trigonométrique de $z_1$ et $z_2$.

Partie B :

Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On admet que $\operatorname{Re}(a)\lt 0$, et on considère les points $A(a)$, $B(-i)$, $C(i)$ et $B'(1)$.

1. Déterminer en fonction de $a$, les affixes des points $J$ et $K$ milieux respectifs de $[AC]$ et $[AB]$.

2. Soit $r_1$ la rotation de centre $J$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, et $r_2$ la rotation de centre $K$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
On pose $C'=r_1(C)$ et $A'=r_2(A)$ et soient $c'$ l'affixe de $C'$ et $a'$ l'affixe de $A'$.
Montrer que $a'=z_1$ et $c'=z_2$.

3. Calculer $\dfrac{a'-c'}{a-1}$ et en déduire que la droite $(AB')$ est une hauteur du triangle $A'B'C'$.

Exercice 4

1. Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : $\begin{cases}f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2\ln^2(x)}}&\\f(0)=1&\end{cases}$

a) Montrer que $f$ est continue à droite au point $0$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

b) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite au point $0$ (on pourra utiliser le résultat $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln^2(x)=0$).

c) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que : $(\forall x\gt 0)\ ;\ f'(x)=\dfrac{-x\ln(x)(1+\ln(x))}{\left(1+x^2\ln^2(x)\right)^{\frac{3}{2}}}$.

d) Donner le tableau des variations de la fonction $f$.

2. Soit $F$ la fonction numérique définie sur $[0;+\infty[$ par : $F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ et soit $(C_F)$ la courbe représentative de $F$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

a) Déterminer une primitive de la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x\ln(x)}$ sur l'intervalle $]e;+\infty[$.

b) Montrer que $(\forall t\geq e)\ ;\ t\ln(t)\leq\sqrt{1+t^2\ln^2(t)}\leq\sqrt{2}\,t\ln(t)$.

c) Montrer que $(\forall x\geq e)\ ;\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln(\ln(x))\leq\displaystyle\int_e^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2\ln^2(t)}}\,dt\leq\ln(\ln(x))$.

d) En déduire que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{F(x)}{x}=0$.

e) Montrer que $(C_F)$ admet deux points d'inflexions dont on déterminera les abscisses.

f) Construire $(C_F)$ (on prend $F(1)\approx 0,5$ et $F\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\approx 0,4$).

3. Pour tout $x$ de $[0;+\infty[$ on pose $\varphi(x)=x-F(x)$.

a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty$ et étudier les variations de $\varphi$.

b) Montrer que pour tout entier naturel $n$, l'équation $\varphi(x)=n$ admet une seule solution $\alpha_n$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$.

c) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ \alpha_n\geq n$ puis calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n$.

4. a) Montrer que : $(\forall n\geq 1)\ ;\ 0\leq\dfrac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\dfrac{F(n)}{n}+f(n)$ (on pourra utiliser le théorème des accroissements finis).

b) Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\alpha_n}{n}$.

Exercice 5

Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose : $u_n=\left(\dfrac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^2}$ et $v_n=\ln(u_n)$.

1. Vérifier que : $(\forall n\geq 1)\ ;\ v_n=n^2\big(\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1))\big)$.

2. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : $(\forall n\geq 1)\ (\exists c\in\,]n;n+1[)\ ;\ v_n=\dfrac{-n^2}{(1+c^2)\arctan(c)}$.

3. Montrer que : $(\forall n\geq 1)\ ;\ \dfrac{-n^2}{(1+n^2)\arctan(n)}\lt v_n\lt\dfrac{-n^2}{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)}$.

4. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.